完全平方公式的几何背景知识点题库

请认真观察图形，解答下列问题：

图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）

A . ab B . （a+b）² C . （a﹣b）² D . a²﹣b²

用图说明公式：（a+b+c+d）²=a²+b²+c²+d²+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．

如图，将一个边长为a cm的正方形纸片剪去一个边长为（a﹣1）cm的小正方形（a＞1），余下的部分沿虚线剪开拼成一个矩形（无重叠无缝隙），则矩形的面积是（）

A . 1 B . a C . 2a﹣1 D . 2a+1

把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．

（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形．
①若用不同的方法计算这个边长为a+b+c的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为²=．
（2）因式分解：a²+4b²+9c²+4ab+12bc+6ca．
（3）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=6，ab=8，请求出阴影部分的面积．

如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（）

A . 2cm² B . 2acm² C . 4acm² D . （a²﹣1）cm²

如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．

如图的四边形均为矩形或正方形，根据图形的面积，写出一个正确的等式：．

探究题

问题再现：

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．

例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．

证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：

这个图形的面积可以表示成：

（a+b）²或a²+2ab+b²

∴（a+b）²=a²+2ab+b²

这就验证了两数和的完全平方公式．

对于问题：证明不等式a²+b²≥2ab，甲、乙两名同学的作业如下：

甲：根据一个数的平方是非负数可知（a﹣b）²≥0，

∴a²﹣2ab+b²≥0，

∴a²+b²≥2ab．

乙：如图1，两个正方形的边长分别为a、b（b≤a），如图2，先将边长为a的正方形沿虚线部分分别剪成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，若再将Ⅰ、Ⅱ和边长为b的正方形拼接成如图3所示的图形，可知此时图3的面积为2ab，其面积小于或等于原来两个正方形的面积和，故不等式a²+b²≥2ab成立．

则对于两人的作业，下列说法正确的是（）

A . 甲、乙都对 B . 甲对，乙不对 C . 甲不对，乙对 D . 甲、乙都不对

设a＜b＜0，a²+b²=4ab，则 $\text{[math]}$ 的值为．

有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式：（a+b)²=a²+2ab+b² ．

对于方案一，小明是这样验证的：

∵大正方形面积可表示为：（a+b)² ，也可以表示为:a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b² ，

∴(a+b)²=a²+2ab+b² ．

请你仿照上述方法根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．

从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).

（1）探究：上述操作能验证的等式是（）；(请选择正确的一个)

A . a²-2ab+b²=(a-b)² B . a²-b²=(a+b)(a-b) C . a²+ab=a(a+b)
（2）应用：利用你从(1)选出的等式，完成下列各题：
①已知9x²-4y²=24，3x+2y=6，求3x-2y的值；

②计算： $\text{[math]}$