完全平方公式的几何背景知识点题库

有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为( )

A . a+b B . 2a+b C . 3a+b D . a+2b

如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

（1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于．
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积，
方法① ；方法② ．
（3）观察图②，你能写出（m+n）² ，（m﹣n）² ， 4mn这三个代数式之间的等量关系吗？
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=6，ab=4，则求（a﹣b）²的值．

如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形．这一过程所揭示的乘法公式是

把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．

（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．
（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？

小明同学用四张长为x，宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．

（1）通过计算小正方形面积，棵推出（x+y）² ， xy，（x﹣y）²三者的等量关系式为：．
（2）利用（1）中的结论，试求：当a﹣b=﹣4，ab= $\text{[math]}$ 时，（a+b）²=．
（3）利用（1）中的结论，试求：当（2x﹣500）（400﹣2x）=1996时，求（4x﹣900）²的值．

如图，长为a，宽为b的长方形的周长为14，面积为10，则a²+b²的值为（）

A . 140 B . 70 C . 35 D . 29

请认真观察图形，解答下列问题：

（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a²＋b²＝53，ab＝14，求：①a＋b的值；②a⁴－b⁴的值．

把一个长为2m，宽为2n的长方形沿图1中的虚线平均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）

（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）
方法1：

方法2：
（2）根据（1）中的结论，请你写出代数式（m+n）² ，（m﹣n）² ， mn之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：a+b＝3，ab＝2，求a﹣b的值．

解方程: $\text{[math]}$ (配方法解方程)

沿图1长方形中的虚线平均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形 $\text{[math]}$ .

图片_x0020_100022

（1）图2中的阴影部分的面积为.
（2）观察图2，请你写出代数式(m+n)²、(m-n)²、mn之间的等量关系式.
（3）根据你得到的关系式解答下列问题：若x+y=-6,xy=5,则x–y=.
（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图3,它表示了(2m+n)(m+n)=2m²+3mn+n².试画出一个几何图形,使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m²+4mn+3n².

现有若干张如图1所示的正方形纸片A，B和长方形纸片C．

图片_x0020_1795045571

（1）小王利用这些纸片拼成了如图2的一个新正方形，通过用两种不同的方法计算新正方形面积，由此，他得到了一个等式：；
（2）小王再取其中的若干张纸片（三种纸片都要取到）拼成一个面积为a²+3ab+nb²的长方形，则n可取的正整数值是，并请你在图3位置画出拼成的长方形；
（3）根据拼图经验，请将多项式a²+5ab+4b²分解因式．

（探究）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）

图片_x0020_100008

（1）通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式.（用含a，b的等式表示）
（2）（应用）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4m²＝12+n² ， 2m+n＝4，则2m﹣n的值为.

②计算：2019²﹣2020×2018.
（3）（拓展）计算：100²﹣99²+98²﹣97²+…+4²﹣3²+2²﹣1².

如图是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）

图片_x0020_100001

A . a²+b² B . 4ab C . （b+a）²﹣4ab D . b²﹣a²

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．

（1）请写出图1、图2、图3分别能解释的乘法公式．
（2）用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你写出这三个代数式（a+b）²、（a﹣b）²、ab之间的等量关系．
（3）根据（2）中你探索发现的结论，完成下列问题：
①当a+b＝5，ab＝﹣6时，则a﹣b的值为．

②设 $\text{[math]}$ ，B＝x﹣2y﹣3，计算：（A+B）²﹣（A﹣B）²的结果．

数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片， $\text{[math]}$ 种纸片是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 种纸片是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ 种纸片是长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形.并用 $\text{[math]}$ 种纸片一张， $\text{[math]}$ 种纸片一张， $\text{[math]}$ 种纸片两张拼成如图2的大正方形.

图片_x0020_100013

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1：；方法2：；
（2）观察图2，请你写出代数式： $\text{[math]}$ 之间的等量关系；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知： $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

②已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

③已知(a-2019)²+(a-2021)²=8，则求(a-2020)²的值.

请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（）

图片_x0020_1024734821

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

通过计算几何图形的面积可以解释代数恒等式的符合题意性，同样利用几何图形的面积也可以解释不等式的符合题意性，请解答下列问题：

（1）根据图①，写出一个代数恒等式，得
（2）两个边长为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的直角三角形和一个两条直角边均为 $\text{[math]}$ 的直角三角形拼成图②，请根据图②中图形面积的关系写出一个代数恒等式，并写出推导过程；
（3）已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 均为正数，且满足 $\text{[math]}$ ，请画出一个图形，然后利用该图形面积关系说明 $\text{[math]}$

一个宽为a、长为4b的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）。

（1）观察图2，请你用等式表示（a+b）² ，（a-b）² ，
ab之间的数量关系：。
（2）根据（1）中的结论，如果x+y=5，xy= $\text{[math]}$ ，求代数式（x-y）²的值。
（3）如果（2019-m）²+（m-2020）²=7。
求（2019-m）（m-2020）的值。

【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．

例如，求图1阴影部分的面积，可以得到乘法公式（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²

请解答下列问题：

（1）请写出求图2阴影部分的面积能解释的乘法公式（直接写出乘法公式即可）
（2）用4个全等的、长和宽分别为a、b的长方形，拼摆成如图3的正方形，请你观察求图3中阴影部分的面积，蕴含的相等关系，写出三个代数式：（a＋b）²、（a－b）²、ab之间的等量关系式（直接写出等量关系式即可）
（3）【自主探索】
小明用图4中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽为a，长为b的长方形纸片拼出一个面积为（3a＋2b）（2a＋3b）长方形，请在下面方框中画出图形，并计算x＋z＝
（4）【拓展迁移】
事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5表示的是一个边长为a＋b的正方体，请你根据图5求正方体的体积，写出一个代数恒等式：

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请借助下图直观分析，通过计算求得 $\text{[math]}$ 的值为．

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