相似三角形的判定与性质知识点题库

如图， $\text{[math]}$ 内接于圆O，AB为直径， CD $\text{[math]}$ AB与点D，E为圆外一点，EO $\text{[math]}$ AB，与BC交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG=EC．

（1）求证：EC是圆O的切线；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，连接CF，
①求证：AC=CF；

②若AD=1，求线段FG的长．

如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，若∠A＝48°，∠1＝54°，则下列正确的是（）

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A . ∠2＝48° B . ∠2＝54° C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图1，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴翻折得到 $\text{[math]}$ ，已知抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .

（1）抛物线顶点的坐标为；
（2）如图2， $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴向右以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度平移得到 $\text{[math]}$ ，运动时间为 $\text{[math]}$ 秒.当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠面积 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式；
（3）如图3，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与抛物线对称轴交于点 $\text{[math]}$ .在旋转一圈过程中，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，直接写出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，试说明理由.

如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（）

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A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或3 D . $\text{[math]}$ 或4

如图，PA与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，在⊙O上存在一点C满足PA＝PC，连结PB、AC相交于点F，且∠APB＝3∠BPC，则 $\text{[math]}$ ＝.

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如图，等腰直角 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在正方形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 所在的直线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . 下列结论中，正确的有（填序号）.

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个三等分点；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ .

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如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB ， ∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，

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（1）求证：AC²＝AB•AD ．
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝4，AB＝6，求AF的值．

如图，在▱ABCD中，M、N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB与点E，连接EN并延长交CD于点F，则DF：FC等于（）．

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A . 1：2 B . 1：3 C . 2：3 D . 1：4

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 6 B . 5 C . 4 D . 3

如图，点G是 $\text{[math]}$ 的重心，过点G作 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点D、E，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系为（）

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A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

（1）问题发现
如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝50°，连接BD，CE交于点F.填空：

① $\text{[math]}$ 的值为；②∠BFC的度数为.
（2）类比探究
如图2，在矩形ABCD和△DEF中，AD＝ $\text{[math]}$ AB，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连接AF交CE的延长线于点P.求 $\text{[math]}$ 的值及∠APC的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△DEF绕点D在平面内旋装，AF，CE所在直线交于点P，若DF＝ $\text{[math]}$ ，AB＝ $\text{[math]}$ ，求出当点P与点E重合时AF的长.

如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，以AD为直径的⊙O与边BC切于点E，且AB＝BE.

（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝3，BC＝7，求⊙O的半径长；
（3）求证： $\text{[math]}$ ＝CD•CA.

如图，AC与⊙O相切，切点为C ，点B在CO的延长线上，BD⊥AO ，垂足为D ， ∠ABD=∠BOD．

（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC=4，AC=3，求BD的长．

（1）在图①中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ；
（2）如图②，用边长为 $\text{[math]}$ 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 $\text{[math]}$ 得折痕 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 折叠到 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 对应点 $\text{[math]}$ ，得折痕 $\text{[math]}$ .试说明： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上任取点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .他发现当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足某种关系时， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 恰好分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.
（4）我们知道：如图①，点 $\text{[math]}$ 把线段 $\text{[math]}$ 分成两部分，如果 $\text{[math]}$ ，那么称点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点.它们的比值为.

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上一点，DE⊥AB于点E．

（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）如果AC＝8，BC＝6，DE＝3，求AE的长．

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．过点 $\text{[math]}$ 作射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，若 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证：四边形 $\text{[math]}$ 为菱形；
（3）在（2）的条件下，求 $\text{[math]}$ 的值．

如图，等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点， $\text{[math]}$

（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=4，CE= $\text{[math]}$ ，求△ABC的边长．

如图，已知四边形ABCD是边长为3的正方形，动点P从点B出发，沿BC向终点C运动，点P可以与点B、点C重合，连接PD，将 $\text{[math]}$ 沿直线PD折叠，设折叠后点C的对应点为点E，连接AE并延长交BC于点F，连接BE，则下列结论中：

①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为等边三角形；②当 $\text{[math]}$ 时，F为BC的中点；③当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；④当点P从点B运动到点C时，点E所走过的路径的长为 $\text{[math]}$ 其中正确的有 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

阅读与思考

请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．

阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家物理学家，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．他的著作《阿基米德全集》的《引理集》中记述了有关圆的15个引理，其中第三个引理是：如图1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的弦，点P在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 于点C，点D在弦 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取一点Q，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．小明思考后，给出如下证明：

如图2，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ （依据1）

∴ $\text{[math]}$

∵ $\text{[math]}$

∴ $\text{[math]}$ （依据2）

…

图1 图2

任务：

（1）写出小明证明过程中的依据：
依据1：

依据2：
（2）请你将小明的证明过程补充完整；
（3）小亮想到了不同的证明方法：如图3，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．请你按照小亮的证明思路，写出证明过程；
（4）结论应用：如图4，将材料中的“弦 $\text{[math]}$ ”改为“直径 $\text{[math]}$ ”，作直线l与 $\text{[math]}$ 相切于点Q，过点B作 $\text{[math]}$ 于点M，其余条件不变，若 $\text{[math]}$ ，且D是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ ．

二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，交于点Q，过点P作 $\text{[math]}$ 轴于点D.

（1）求二次函数的表达式；
（2）连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ 的表达式；
（3）请判断： $\text{[math]}$ 是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由.

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