相似三角形的判定与性质知识点题库

如图，在⊙ $\text{[math]}$ 中，AB是直径，BC是弦，BC=BD，连接CD交⊙ $\text{[math]}$ 于点E，∠BCD=∠DBE.

（1）求证：BD是⊙ $\text{[math]}$ 的切线.
（2）过点E作EF⊥AB于F，交BC于G，已知DE= $\text{[math]}$ ，EG=3，求BG的长.

如图1，平面直角坐标系xoy中，A(－4，3)，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象分别交矩形ABOC的两边AC，BC于E，F（E，F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A，D重合.

（1） ①如图2，当点D恰好在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长；
②若折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），求线段CE长度的取值范围.
（2）若折叠后，△ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标.

如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＝6，AD＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点 E，交 DC 的延长线于点 F，BG⊥AE，垂足为 G，BG＝4 $\text{[math]}$ ，则△CEF 的周长为．

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已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E ，交BC边于F ，分别连结AF和CE ．

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（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE＝13cm ， △ABF的周长为30cm ，求△ABF的面积；
（3）在线段AC上是否存在一点P ，使得2AE²＝AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

如图，矩形EFGH内接于△ABC ，且边FG落在BC上，若AD⊥BC ， BC＝30，AD＝20，EF＝ $\text{[math]}$ EH ．

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（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求矩形EFGH的面积．

如图1，抛物线W：y＝ax²﹣2的顶点为点A，与x轴的负半轴交于点D，直线AB交抛物线W于另一点C，点B的坐标为（1，0）．

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（1）求直线AB的解析式；
（2）过点C作CE⊥x轴，交x轴于点E，若AC平分∠DCE，求抛物线W的解析式；
（3）若a＝ $\text{[math]}$ ，将抛物线W向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线W₁ ，如图2，记抛物线W₁的顶点为A₁ ，与x轴负半轴的交点为D₁ ，与射线BC的交点为C₁ ．问：在平移的过程中，tan∠D₁C₁B是否恒为定值？若是，请求出tan∠D₁C₁B的值；若不是，请说明理由．

如图1，抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴的负半轴交于点C，OC=OB=10。

（1）求抛物线的表达式；
（2）点P、Q在第四象限内抛物线上，点P在点Q下方，连接CP，CQ，∠OCP+∠OCQ=180°，设点Q的横坐标为m，点P的横坐标为n，求m与n的函数关系式；
（3）如图2，在(2)的条件下，连接AP交CO于点D，过点Q作QE⊥AB于点E，连接BQ，DE，是否存在点P，使∠AED=2∠EQB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

请认真阅读下面的数学探究，并完成所提出的问题.

（1）探究1：如图1，在边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转至 $\text{[math]}$ 处，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值.
（2）探究2：如图2，若 $\text{[math]}$ 是腰长为 $\text{[math]}$ 的等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，（1）中的其他条件不变，请求出此时 $\text{[math]}$ 面积的最小值.
（3）探究3：如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上任意一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转至 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积的最小值.

如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF=OF，∠CBD=30°，BD=6 $\text{[math]}$ ．求AF的长．

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如图，一次函数y=kx+z的图象与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于点P，点P在第一象限，PA $\text{[math]}$ x轴于点A，PB $\text{[math]}$ y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴，y轴于C,D，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）点D的坐标；
（2）求一次函数及反比例函数的解析式；
（3）据图象写出当x>0时，一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求证： $\text{[math]}$ ；
（3）设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图 $\text{[math]}$ ，在等边ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），点E、F分别在AB和AC边上，且EDF=60．

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（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）若点 $\text{[math]}$ 移至 $\text{[math]}$ 的中点，如图2，求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F.

（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE＝ $\text{[math]}$ ，AB＝10，求AE的长；
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线．

（1）求证： $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ；
（2）如图，过点C作射线，与AD交于点M ，与边AB交于点E ，又知BD＝9，CD＝6
①如果 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，求CE的长；

②设 $\text{[math]}$ ＝x ， $\text{[math]}$ ＝y ，求y关于x的函数关系式．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的一点，且 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在直角坐标系中，点P(2，2)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB在x轴上的投影长为（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

如图，已知AB是⊙O的直径，P是半径OB上一点，作弦 $\text{[math]}$ 交⊙O于点C，D，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .E是 $\text{[math]}$ 上一点，延长AE交CD的延长线于点F，延长BD交EF于点G，连结DE.

（1）求证： $\text{[math]}$ .
（2）连结BC，当四边形BCEG中有一组对边平行时，求DE的长.
（3）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合与实践

问题情形：如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点F，G分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E为矩形 $\text{[math]}$ 的对称中心，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．易知四边形 $\text{[math]}$ 为矩形．矩形 $\text{[math]}$ 保持不动，矩形 $\text{[math]}$ 绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为 $\text{[math]}$ ．

实践探究：

（1）如图2，当点E恰好在 $\text{[math]}$ 上，延长 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点H，则 $\text{[math]}$ ；
（2）如图3，当 $\text{[math]}$ 的延长线恰好经过点A时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 交于点M，N．则：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；
（3）如图4，若点D在 $\text{[math]}$ 的延长线上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
①此时 $\text{[math]}$ ▲ ；

②探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并加以证明；

③此时点B，F，E是否在同一条直线上？请说明理由；

④求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿DF直线折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM的长为.

如图，在半径为3的圆O中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是圆O的半径，且 $\text{[math]}$ ，点C是劣弧 $\text{[math]}$ 上的一个动点(点C不与点A、B重合)，延长 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点D．

（1）当点C为线段 $\text{[math]}$ 中点时，求 $\text{[math]}$ 的大小；
（2）如果设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当 $\text{[math]}$ 时，点E在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点F是射线 $\text{[math]}$ 上一点，射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 交于点G，如果以点A、G、F为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，求 $\text{[math]}$ 的值．

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