相似三角形的判定与性质知识点题库

定义：在一个三角形中，若存在两条边 x 和 y，使得 y = x² ，则称此三角形为“平方三角形”，x 称为平方边．

（1）若等边三角形为平方三角形，则面积为 $\text{[math]}$ 是命题；
有一个角为 30°且有一条直角边为 2 的直角三角形是平方三角形”是命题；（填“真”或“假”）
（2）若a，b，c 是平方三角形的三条边，平方边 a=2，若三角形中存在一个角为 60°，求 c 的值；
（3）如图，在△ABC 中，D 是 BC 上一点．
①若∠CAD=∠B，CD=1，求证，△ABC 是平方三角形；
②若∠C=90°，BD=1，AC=m，CD=n，求tan∠DAB.（用含m，n的代数式表示）

在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B，AB=6，BC=5，AC=4，如果四边形DBCE的周长为 $\text{[math]}$ ，那么AD的长为。

定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．

例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点M是曲线C： $\text{[math]}$ 上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．

（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M,试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是 $\text{[math]}$ ，点N的坐标是 $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标；
（2）如图3，当点M的坐标是 $\text{[math]}$ ，点N的坐标是 $\text{[math]}$ 时，求△MON的自相似点的坐标；
（3）是否存在点M和点N,使△MON无自相似点,？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

过三角形的任意两个顶点画一条弧，若弧上的所有点都在该三角形的内部或边上，则称该弧为三角形的“形内弧”．

（1）如图，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
①在下图中画出一条 $\text{[math]}$ 的形内弧；

②在 $\text{[math]}$ 中，其形内弧的长度最长为．
（2）在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点M为 $\text{[math]}$ 形内弧所在圆的圆心．求点M纵坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（3）在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，点G为x轴上一点．点P为 $\text{[math]}$ 最长形内弧所在圆的圆心，求点P纵坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围．

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6 $\text{[math]}$ ，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为.

图片_x0020_1995500319

已知，如图， $\text{[math]}$ 是直角三角形 $\text{[math]}$ 斜边上的中线， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ .

图片_x0020_100021

（1）求证: $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图，已知直线 $\text{[math]}$ 与x轴、y轴分别交于点B、A，点P是y轴上一动点，PQ⊥AB于点Q，点A的坐标为（0，3）．

图片_x0020_100016

（1）求直线AB的解析式；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；
（3）当P在y轴负半轴时，连接BP、OQ，分别取BP、OQ的中点E、F，连接EF交PQ于点G，当OQ $\text{[math]}$ BP时，求证： $\text{[math]}$ ．

如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的周长是6，则 $\text{[math]}$ 的周长是( )

图片_x0020_100008

A . 6 B . 12 C . 18 D . 24

如图，面积为4的平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 边的垂线，垂足为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 正好是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .上的动点， $\text{[math]}$ 的延长线交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 是唯一使得线段 $\text{[math]}$ 的点，则线段 $\text{[math]}$ 长 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

如图

（1）（证明体验）
如图1， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的角平分线， $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ .
（2）（思考探究）
如图2，在（1）的条件下，F为 $\text{[math]}$ 上一点，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
（3）（拓展延伸）
如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中，对角线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．

操作发现

“杨辉”小组的同学用一张钝角三角形纸片 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为钝角，进行了如下操作：

第一步：如图1，折出 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ；

第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使预点A与点D重合，拆痕 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点E，F；

第三步：如图3，再次展平纸片，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可得四边形 $\text{[math]}$ ．

（1）在图4的 $\text{[math]}$ 中利用尺规作出折痕 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）实践探究
试判断图3中四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并写出证明过程；
（3）深入探究
“陈景润”小组的同学突发奇想，在“杨辉”小组同学操作的基础上设计了这样一个问题：在图3中，连接 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 于点P，交 $\text{[math]}$ 于点Q，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用相似三角形的知识可以求出 $\text{[math]}$ 的长．请你写出求解过程．

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为线段BC上（除点B外）一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，CF交DE于点P．

（1）求证：CF⊥BC；
（2）若AC＝4 $\text{[math]}$ ，CD＝2，求线段CP的长．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上，点B、C在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积等于1，则 $\text{[math]}$ 的值为.

如图，在 $\text{[math]}$ 中，EF∥BC， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

如图，在矩形ABCD中，线段EG，FH分别平行于BC，AB，它们相交于点I，点M，N分别在线段FI，GI上，EI＝MI，HI＝NI，连接FN，GM，相交于点P．已知AE：AB＝AH：AD＝1：3，AB：BC＝5：6，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝BC＝4，AD＝2，点P是以AB为直径的半圆O上一点，连接PC、PD，则PC＋ $\text{[math]}$ PD的最小值为.

（1）综合与实践
如图1，AD为△ABC的角平分线， $\text{[math]}$ ，点E在AB上，AE＝AC，求证：DE平分∠ADB．
（2）（思考探究）
如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．
（3）（拓展延伸）
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5， $\text{[math]}$ ， AD＝2AE，求AC的长．

如图，BD是△ABC的中线，点E在线段BC上，连接AE交BD于点F，点G为AE中点，连接DG，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

如图，在 $\text{[math]}$ 中，延长斜边 $\text{[math]}$ 到点C，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，点 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的延长线上一点，在 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
（2）若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

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