题目

阅读下面文章，完成下面题目。(13分)窃读记    林海音①转过街角，看见饭店的招牌，闻见炒菜的香味，听见锅勺敲打的的声音，我放慢了脚步。放学后急匆匆地赶到这里，目的地可不是饭店，而是紧邻它的一家书店。 ②我边走边想：“昨天读到什么地方了？那本书放在哪里？左边第三排，不错……”走到门口，便看见书店里仍像往日一样挤满了顾客。我可以安心了。但我又担忧那本书会不会卖光，因为一连几天都看见有人买，昨天好像只剩下一如图，椭圆的两顶点为A(2，0)，B（0，1），该椭圆的左右焦点分别是F1，F2．（1）在线段AB上是否存在点C，使得CF1⊥CF2？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设过F1的直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF2面积的最大值．