题目

（14分）在正四棱柱中，E,F分别是的中点，G为上任一点，EC与底面ABCD所成角的正切值是4. （Ⅰ）求证AGEF； （Ⅱ）确定点G的位置，使AG面CEF,并说明理由； （Ⅲ）求二面角的余弦值。 答案：（14分） 解：∵是正四棱柱     ∴ABCD是正方形，设其边长为2a,ÐECD是EC与底面所成的角。而ÐECD=ÐCEC1, ∴CC1=4EC1=4a.……………1分 以A为原点，AB、AD、AA1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的直角坐标系。 则A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0), A1(0,0,4a),B1(2a,0,4a),C1(2a,2a,4a),D1(0,2a,4a), E(a,2a,4a),F(2a,a,4a),设G(在Rt△ABC中，直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，点E是BC边的中点，连接DE，①DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况．②若AC、AB的长是方程x2-10x+24=0的根，求直角边BC的长．