题目

设f(x)=-x3+x2+2ax. (1)若f(x)在上存在单调增区间，求实数a的取值范围； (2)当0<a<2时，若f(x)在[1，4]上的最小值为-，求f(x)在该区间上的最大值. 答案：(1) 因为f(x)=-x3+x2+2ax， 所以f'(x)=-x2+x+2a. 又f(x)在上存在增区间. 所以f'(x)>0在上有解. 又f'(x)=-x2+x+2a的对称轴方程为x=，所以f'(x)在上单调递减，所以在上，f'(x)<f'=+2a，由题意知+2a>0，即a∈. (2) f'(x)=-x2+x+2a，当0<a<2时，Δ=1+8a>0， 所以f'(x)=-x2+x+2a=0有两个不相等的实数根x1，x2， 则x1=， x2=(舍去). 由题已知，如图：点A（，1）在反比例函数图象上，将y轴绕点O顺时针旋转30°，与反比例函数在第一象限内交于点B， 求:（1）反比例函数的解析式； （2）求点B的坐标及△AOB的面积．