题目

数列{an}满足a1=1且an+1=(1+)an+(n≥1).（1）用数学归纳法证明：an≥2(n≥2)；（2）已知不等式ln(1+x)＜x对x＞0成立，证明：an＜e2(n≥1)，其中无理数e=2.718 28…. 答案：证明：（1）①当n=2时，a2=2≥2，不等式成立.②假设当n=k(k≥2)时不等式成立，即ak≥2(k≥2),那么ak+1=［1+］ak+≥2.这就是说，当n=k+1时不等式成立.根据①②可知：ak≥2对所有n≥2成立.（2）由递推公式及（1）的结论有an+1=(1+)an+≤(1++)an.(n≥1),两边取对数并利用已知不等式得lnan+1≤ln(1++)+lnan≤lnan++.故lnan+1-lnan≤修改病句。（1）玩累了，就在房子底下找个阴凉的地方睡着了。________________________________（2）沿街摆满了莴笋、韭菜、鸡鸭和农副产品。________________________________（3）唯独书房里那一幅墨梅图，他分外可惜，家人碰也碰不得。__________________________________（4）和老师的一次谈话，更加迸发了我的想象力。___________________________________