题目

已知函数且. （1）求a； （2）证明：存在唯一的极大值点，且. 答案：【解析】 ⑴ 因为，，所以． 令，则，， 当时，，单调递减，但，时，； 当时，令，得． 当时，，单调减；当时，，单调增． 若，则在上单调减，； 若，则在上单调增，； 若，则，． 综上，． ⑵ ，，． 令，则，． 令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以，． 因为，，，， 所以在和