题目

已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为且过点(4,-). (1)求双曲线的标准方程; (2)直线x=3与双曲线交于M、N两点,求证:F1M⊥F2M. 答案：1、双曲线方程为x2-y2=6. 2、见解析 解析:(1) e=,则=2, ∴a=b.故可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0). 由于双曲线过点(4,-), ∴42-(-)2=λ.∴λ=6. ∴双曲线方程为x2-y2=6. (2)证明:由(1)可得F1(-2,0)、F2(2,0)、M(3,)、N(3,-). ∴ ∴=-1.∴F1M⊥F2M.如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）当∠OCD=50°（图1），试求∠F．（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．