13.3.2 等边三角形知识点题库

已知，△ABC、△DCE均为等边三角形，且B、C、E三点在一条直线上，BD与AE相交于O点．

（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）求∠DOE的度数；
（3）连接MN，求证：MN∥BE．

已知线段MN=8，C是线段MN上一动点，在MN的同侧分别作等边△CMD和等边△CNE．

（1）
如图①，连接DN与EM，两条线段相交于点H，求证ME=DN，并求∠DHM的度数；
（2）
如图②，过点D、E分别作线段MN的垂线，垂足分别为F、G，问：在点C运动过程中，DF+EG的长度是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是请说明理由；
（3）当点C由点M移到点N时，点H移到的路径长度为（直接写出结果）

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（）

A . 5 B . $\text{[math]}$ C . 5 $\text{[math]}$ D . 5 $\text{[math]}$

如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交 $\text{[math]}$ 于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作 $\text{[math]}$ 交OB于点D．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（）

A .

B .

C .

D . 2

如图，已知等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为平面内一动点，且 $\text{[math]}$ ，将点 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 按逆时针方向转转 $\text{[math]}$ ，得到点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值.

图片_x0020_1385976380

如图， $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形，则 $\text{[math]}$ .

图片_x0020_582384496

如图9，将等腰直角三角形PAB的直角顶点P置于线段CD的中点处，且斜边AB//CD，点P关于AB的对称点为Q，连结PQ，QC，QD，且QC，QD分别交△PAB的三边于点E，F，M，N.

（1）求证：AE=BF；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）设 $\text{[math]}$ ，连结PE，设四边形AFNP和△BPE的面积分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆O上．过点A作AD⊥OC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．

（1）当点F为 $\text{[math]}$ 的中点时，求弦BC的长；
（2）设OD＝x， $\text{[math]}$ ＝y，求y与x的函数关系式；
（3）当△AOD与△CDE相似时，求线段OD的长．

若三角形三个内角的度数之比为1：2：3，最短的边长是5cm，则其最长的边的长是.

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 平分弦 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点E， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的长.

如图所示，如果等边 $\text{[math]}$ 旋转后能与等边 $\text{[math]}$ 重合，那么图形所在的平面内可作旋转中心的点共有（）

图片_x0020_100010

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠D＝60°，AD为直径的⊙O经过点C，AB是⊙O的切线，OE∥BC.

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，求BE的长.

如图，把一个含有30°角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，则在旋转过程中点A经过的路径长为.

图片_x0020_100017

在平面直角坐标系中，等边 $\text{[math]}$ 如图放置，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，每一次将 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到 $\text{[math]}$ ，第二次旋转后得到 $\text{[math]}$ ，…，依次类推，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，在平面直角坐标系中，△AOB是边长为3的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD．

（1）求证：OC＝AD；
（2）求OC的长．

已知点A是双曲线y＝ $\text{[math]}$ 在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）上运动，则k的值是（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . ﹣3 D . ﹣ $\text{[math]}$

如图，在Rt $\text{[math]}$ ACB中，∠ACB＝90°，AB＝4，∠BAC＝60°，D是边AC上的一个动点，连接BD，作CE⊥BD于点E，连接AE，则AE长的最小值为.

中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法：“以半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”．

由记载可得作法如下：

①作 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取一点N，以点N为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作 $\text{[math]}$ ，两圆相交于A，B两点，连接 $\text{[math]}$ ；

②以点B为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 相交于点C，与 $\text{[math]}$ 相交于点D；

③连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都是圆内接正三角形．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明，
证明：连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 为① ．
∴ $\text{[math]}$ ．
同理可得， $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ （② ）（填推理的依据）．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 是等边三角形．
同理可得， $\text{[math]}$ 是等边三角形．

如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为．

如图，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上的一动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在同条直线上，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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