13.3.2 等边三角形知识点题库

一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40°的方向行驶 40 海里到达 B 地，再由 B 地向北偏西 20°的方向行驶 40 海里到达 C 地，则 A、C 两地相距( )

A . 30 海里 B . 40 海里 C . 50 海里 D . 60 海里

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，☉O是Rt△ABC的内切圆，其半径为1，E，D是切点，∠BOC=105°.求AE的长.

如图，四边形OABC是菱形，点B，C在以点O为圆心的弧EF上，且∠1＝∠2，若扇形OEF的面积为3π，则菱形OABC的边长为．

如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．

（1）求证：△ADC≌△BEA；
（2）若PQ=4，PE=1，求AD的长．

已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点P₁与点P关于OB对称，点P₂与点P关于OA对称，则以点P₁ ， O，P₂为顶点的三角形是（）

A . 直角三角形 B . 钝角三角形 C . 等腰三角形 D . 等边三角形

如图，等边△ABC的周长是9，

（1）求作AC的中点D；（保留作图痕迹）
（2） E在BC的延长线上．若DE=DB，求CE的长．

如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为( )

A . 1 B . 2 C .

D . 1＋

如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC= $\text{[math]}$ 将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB’C’D’，使得点B’恰好落在对角线BD上，连接DD’，则DD’的长度为( )

A .

B .

C .

+1 D . 2

如图，有一个圆O和两个正六边形T₁ ， T₂.T₁的6个顶点都在圆周上，T₁的6条边都和圆O相切（我们称T₁；T₂分别为圆O的外切正六边形和内接正六边形）.若设T₁ ， T₂的周长分别为a，b，圆O的半径为r，则r:a= ；r:b=；正六边形T₁ ， T₂ ，的面积比S₁：S₂ ，的值是.

如图，四边形ABCD是平行四边形，∠B=60°，点E是AD的中点，CE的延长线与BA的延长线相交于点F，BC=2.

图片_x0020_100015

（1）求证:△AFE≌△DCE；
（2）连接AC、DF，填空：
①当AB=时，以A、C、D、F为顶点的四边形是矩形；

②当AB=时，以A、C、D、F为顶点的四边形是菱形。

在△ABC中，已知AB=5，BC=6，∠B=30°，那么S_△_ABC为（）．

A . 7.5 B . 15 C . 30 D . 60

如图所示，点A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为（）

A . 2 B . 2 $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 的外侧作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长是多少？

图片_x0020_100022

问题提出

（1）如图1，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ （不含 $\text{[math]}$ 点）上任意一点，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

求证：① $\text{[math]}$ ；②若连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 千米， $\text{[math]}$ ，公园内有一个儿童游乐场 $\text{[math]}$ ，分别从 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 向游乐场 $\text{[math]}$ 修三条路 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求三条路的长度和（即 $\text{[math]}$ ）最小时，平行四边形公园 $\text{[math]}$ 的面积.

如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，O为对角线 $\text{[math]}$ 的中点，过O点作 $\text{[math]}$ ，垂足为E．则下列说法错误的是（）

A . 点O为菱形 $\text{[math]}$ 的对称中心 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 为等边三角形 D . $\text{[math]}$

如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以B为圆心、 $\text{[math]}$ 长为半径画 $\text{[math]}$ ，点P为菱形内一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .当 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝30°．

（1）求∠BAD的度数；
（2）若AD＝ $\text{[math]}$ ，求DB的长．

如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，∠C＝30°点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.

（1） DF＝；（用含t的代数式表示）
（2）求证：△AED≌△FDE；
（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；
（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值.）

如图所示，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB，BC，CD，DA 的中点分别为P，Q，M ，N，试判断四边形 PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论.

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．若AE平分∠DAB，∠EAC＝10°，则∠AED＝．

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