27.2.2 相似三角形的性质知识点题库

问题提出：

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（1）如图①，在边长为8的等边三角形ABC中，点D，E分别在BC与AC上，且BD＝2，∠ADE＝60°，则线段CE的长为.
（2）如图②，已知AP∥BQ，∠A＝∠B＝90°，AB＝6，D是射线AP上的一个动点（不与点A重合），E是线段AB上的一个动点（不与A，B重合），EC⊥DE，交射线BQ于点C，且AD+DE＝AB，求△BCE的周长.
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB+CD＝10（AB＜CD），BC＝6，点E为BC的中点，且∠AED＝108°，则边AD的长是否存在最大值？若存在，请求AD的最大值，并求出此时AB，CD的长度，若不存在，请说明理由.

如图，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为1的正方形， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 所在直线上的两点，若 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$

如图1，已知直线y=﹣2x+4与两坐标轴分别交于点A、B，点C为线段OA上一动点，连接BC，作BC的中垂线分别交OB、AB交于点D、E.

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（1）当点C与点O重合时，DE=；
（2）当CE∥OB时，证明此时四边形BDCE为菱形；
（3）在点C的运动过程中，直接写出OD的取值范围.

如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，N是斜边AB上方一点，连接BN，点D是BC的中点，DM垂直平分BN，交AB于点E，连接DN，交AB于点F，当△ANF为直角三角形时，线段AE的长为．

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如图，点O是△ABC内一点、分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是（　　）

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A . 6 B . 15 C . 24 D . 27

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动.过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ.设动点运动时间为x秒.

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（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与月份 $\text{[math]}$ 的函数关系式，并写出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（3）当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 为直角三角形.

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

已知：如图，双曲线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、B两点，将直线 $\text{[math]}$ 向下平移n个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C，点D是x轴上一动点．

（1）求双曲线和直线的函数表达式；
（2）连接 $\text{[math]}$ ，当点C是线段 $\text{[math]}$ 中点时，求n的值；
（3）若点E是双曲线上任意一点，当 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为斜边的直角三角形，且 $\text{[math]}$ 时，求点E的坐标．

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E ， F分别在BC ， CD上，AE⊥BF于点M ，求证：AE=BF；
（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD ， AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M ，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．

如图，P为正方形 $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 上的一点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点E，过P作 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于M，N．

（1）如图1，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，点F与点C关于直线 $\text{[math]}$ 对称，连接 $\text{[math]}$ 并延长交直线 $\text{[math]}$ 于点G，连接 $\text{[math]}$ ．
①设 $\text{[math]}$ 的度数为x，求 $\text{[math]}$ 的度数：

②猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．

【方法提炼】

解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略.

【问题情境】

如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q.求证：AE＝FG.

小明在分析解题思路时想到了两种平移法：

方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形；

方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形；

【尝试应用】

（1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；
（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O.求tan∠AOC的值；
（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N.
①求∠DMC的度数；

②连接AC交DE于点H，求 $\text{[math]}$ 值.

已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．

（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）若S_△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线L与x轴交于 $\text{[math]}$ 两点，且经过点 $\text{[math]}$ ，抛物线的顶点D的坐标为 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）如图1，点E为第四象限抛物线L上一动点，过点E作 $\text{[math]}$ 于点G，求 $\text{[math]}$ 的最大值，及此时点E的坐标；
（3）如图2，连接 $\text{[math]}$ ，过点O作直线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别为直线l和抛物线L上的点.试探究：在第一象限是否存在这样的点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ .若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

如图，在△ABC中， $\text{[math]}$ ，将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作⊙O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B.

（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，CD＝3，求△ABD的面积；
（3）若AC＝4，BD＝6，求AE的长.

如图，抛物线y＝ax²+bx（a＞0，b＜0）交x轴于O，A两点，顶点为B（2，－4）.

（1）求抛物线的解析式；
（2）直线y＝kx+m（k＞0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C.过点D作DE⊥x轴于点E，连接AB，CE.
①若k＝1，求△CDE的面积；

②求证：CE∥AB.

如图①，在△ABC中，点D与点E分别为CA，CB上的点， $\text{[math]}$ .现将△CDE绕点C顺时针方向旋转，连接AD，BE.

（1）在图②中，求证：△ACD∽△BCE；
（2）若∠C＝90°，CA＝CB＝2，点D与点E分别为CA，CB的中点.
①如图③，当△CDE旋转到B，D，E三点一线且D在B，E之间时，求AD的长度；
②求在△CDE旋转过程中△ABE面积的最大值.

如图

（1）【根底巩固】
如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ . 求证： $\text{[math]}$ .
（2）【尝试应用】
如图2，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线与点 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ . 若 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ .

求： ①CM的长；

②FN的长.
（3）【拓展进步】
如图3，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心作半径为3的圆，其中点 $\text{[math]}$ 是圆上的动点，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值.

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；同时点Q从点A出发沿AB以相同的速度向点B匀速运动，当点Q到达点B时两点同时停止运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分线段PQ，且交PQ于点D，交折线QB﹣BC﹣CP于点E.设点Q的运动时间是t秒.

（1）求BC的长.
（2）用含t的代数式表示线段AP的长.
（3）在点E从点B向点C运动的过程中，当四边形CPDE为矩形时，求△APQ的面积.
（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值.

如图，⊙ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆，AB是⊙ $\text{[math]}$ 的直径，点D在⊙ $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E.

（1）求证： $\text{[math]}$ ；
（2）求证： $\text{[math]}$ ；
（3）若 $\text{[math]}$ ，求DB的长.

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