27.2.2 相似三角形的性质知识点题库

如图，A是以BC为直径的⊙O上的一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，点F是EB的中点，连结CF交AD于点G

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（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）求证：AG=GD；
（3）若FB=FG，且⊙O的半径长为3 $\text{[math]}$ ，求BD．

已知，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上，点E在AB边上，∠BDE= $\text{[math]}$ ∠C，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F.

（1）如图1，当AB＝AC时：
①∠EBF的度数为；

②求证：DE＝2BF.
（2）如图2，当AB＝kAC时，求 $\text{[math]}$ 的值（用含k的式子表示）.

（1）如图1，画一条平行于BC的直线，使其将△ABC分成两部分，且所分三角形与梯形面积比为1：3；
（2）如图2，△ABC中AB=4，AC=3，BC=6，D是△ABC中AC边上的点，AD=2，过点D画一条直线l将△ABC分成两部分，l与△ABC另一边的交点为点P，使其所分的一个三角形与△ABC相似，并求出DP的长；
（3）如图3所示，在等腰△ABC中，CA=CB=10，AB=12.在△ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE.EF在边AB上，点P.N分别在边CB.CA上，若较大正方形的边长为a，请用含a的代数式表示较小正方形的边长.

在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝2 $\text{[math]}$ ，点E是边AD上的一个动点，连接BE，以BE为一边在其左上方作矩形BEFG，过点F作直线AD的垂线，垂足为点H，连接DF.

（1）当BE＝EF时.
①求证：FH＝AE；

②当△DEF的面积是 $\text{[math]}$ 时，求线段DE的长；
（2）如图2，当BE＝ $\text{[math]}$ EF，且射线FE经过CD的中点时，请直接写出线段FH长.

如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q连接CQ，∠BPC＝∠AQP.

（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长.

如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于点D，E，若 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，则下列说法不正确的是（）

A . $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$

如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为．

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如图1，圆内接四边形ABCD，AD＝BC，AB是⊙O的直径．

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（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，连接OD，作∠CBE＝2∠ABD，BE交DC的延长线于点E，若AB＝6，AD＝2，求CE的长；
（3）如图3，延长OB使得BH＝OB，DF是⊙O的直径，连接FH，若BD＝FH，求证：FH是⊙O的切线．

如图，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上运动，且满足 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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如图，在 $\text{[math]}$ 中，D在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

数学课上，有这样一道探究题．

如图，已知 $\text{[math]}$ 中，AB=AC=m ， $\text{[math]}$ ，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a ，得线段PD ，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和 $\text{[math]}$ 的度数 $\text{[math]}$ ，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

（1）填空：
（问题发现）

小明研究了 $\text{[math]}$ 时，如图1，求出了 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

小红研究了 $\text{[math]}$ 时，如图2，求出了 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（类比探究）

他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了 $\text{[math]}$ ；

（归纳总结）

最后他们终于共同探究得出规律： $\text{[math]}$ (用含m、n的式子表示)； $\text{[math]}$ (用含α的式子表示)．
（2）求出 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的值和 $\text{[math]}$ 的度数．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ （b，c是常数）交于A．B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，设抛物线与x轴的另一个交点为点C．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，P是抛物线上一动点（不与点A，B重合），若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，AB∥CD ， BD是∠ABC的角平分线，BD交AC与点E ，求AE的长．

如图，AB为 $\text{[math]}$ 的直径，点P为AB延长线上的一点，过点Р作 $\text{[math]}$ 的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确个数是（）

①AM平分 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则BM的长为 $\text{[math]}$ ；④若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ．

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC；②四边形ADEF为菱形；③ $\text{[math]}$ .其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC，对角线AC、BD相交于点E，过点C作CF垂直于BD，垂足为F，且CF＝DF

（1）求证：ΔACD∽△BCF；
（2）如图2，连接AF，点P、M、N分别为线段AB、AF、DF的中点，连接PM、MN、PN．
①求证：∠PMN＝135°；
②若AD＝2 $\text{[math]}$ ，求ΔPMN的面积；

如图，将正方形纸片 $\text{[math]}$ 折叠使点D落在射线 $\text{[math]}$ 上的点E，将纸片展平，折痕交 $\text{[math]}$ 边于点F，交 $\text{[math]}$ 边于点G， $\text{[math]}$ 的对应边 $\text{[math]}$ 所在的直线交直线 $\text{[math]}$ 于点H，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）若点E在 $\text{[math]}$ 边上，
①求证： $\text{[math]}$ ．

②当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值（用含k的代数式表示）．

如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过矩形的对称中心O的直线EF，分别与AD、BC交于点E、F，且 $\text{[math]}$ 若H为OE的中点，连接BH并延长，与AD交于点G，则BG的长为（）

A . 8 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a>b．记△ABC的面积为S．

（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S₁ ，正方形BGFC的面积为S₂ ．
①若S₁=9，S₂=16，求S的值；

②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S₂-S₁=2S．
（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S₁ ，等边三角形CBE的面积为S₂ ．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S₂-S₁与S之间的等量关系，并说明理由．

如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . 10或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或10 D . 以上答案都不对

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