题目

已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l:y=-2的距离小1.（1）求曲线C的方程；（2）过点P(2,2)的直线m与曲线C交于A，B两点，设=λ.①当λ=1时,求直线m的方程；②当△AOB的面积为4时（O为坐标原点），求λ的值. 答案：（1）解法一：设M(x,y)，则由题设得|MF|=|y+2|-1, 即=|y+2|-1,当y≥-2时,=y+1,化简得x2=4y; 当y＜-2时,=-y-3, 化简得x2=8y+8与y＜-3不合,故点M的轨迹C的方程是x2=4y. 解法二：∵点M到点F(1,0)的距离比它到直线l:y=-2的距离小1，∴点M在直线l的上方.点M到F（1，0）的距离与它到直线l′:y=-1的距离相等, ∴点M的轨迹C是以F为焦点如果抛物线y=x2-2（m+1）x+m2与x轴有交点，则m的取值范围是m≥-12m≥-12．