题目

函数f(x)＝x2(0<x<1)的图象如图，其在点M(t，f(t))处的切线为l，l与x轴和x＝1分别交于P、Q，点N(1,0)，设△PQN的面积S＝g(t)． (1)求g(t)的表达式； (2)若g(t)在区间(m，n)上单调递增，求n的最大值； (3)若△PQN的面积为b时的点M恰有两个，求b的取值范围． 答案： (1)设点M(t，t2)，由f(x)＝x2(0<x<1)，得f′(x)＝2x， ∴过点M的切线PQ的斜率k＝2t. ∴切线PQ的方程为y＝2tx－t2. 取y＝0，得x＝，取x＝1，得y＝2t－t2， ∴P(，0)，Q(1,2t－t2)， ∴S＝g(t)＝(1－)(2t－t2)＝t3－t2＋t. (2)由(1)得，g(t)＝(t3－4t2＋4t)， 则g′(t)＝(3t2－8t＋4)， 由g′(t)＝0，解得t1＝，t2＝2(舍)． ∴当t∈(0如图，两根足够长的金属导轨ab、cd竖直放置，导轨间距离为L，电阻不计．在导轨上端接一个额定功率为P、电阻为R的小灯泡．整体系统置于匀强磁场中，磁感应强度方向与导轨所在平面垂直．现将一质量为m、电阻为r的金属棒MN从图示位置由静止开始释放．金属棒下落过程中保持水平，且与导轨接触良好．下落过程中小灯泡亮度逐渐增大，在某时刻后小灯泡保持正常发光，亮度不再变化．重力加速度为g．求：（1）小灯泡正常发光时，金属杆MN两端的电压大小；（2）磁感应强度的大小；（3）小灯泡正常发光时导体棒的运动速率．