题目

已知函数y=f(x)的定义域为R，且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，f(3)=-3. (1)证明：函数y=f(x)是R上的减函数； （2）证明：函数y=f(x)是奇函数； （3）试求函数y=f(x)在［m,n］（m,n∈Z）上的值域. 答案：解析:（1）证明  设x1，x2∈R，且x1＜x2,f(x2)=f［x1+(x2-x1)］=f(x1)+f(x2-x1). ∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)＜f(x1). 故f(x)是R上的减函数. （2）证明  ∵f（a+b）=f（a）+f（b）恒成立，∴可令a=-b=x,则有f（x）+f（-x）=f（0）， 又令a=b=0,则有f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.从而x∈R，f（x）+f（-x）=0， ∴f（-x）=-f（x）.故如图所示，把球夹在竖直墙面AC和木板BC之间，不计摩擦．设球对墙的压力为FN1，球对板的压力为FN2，在将板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法中正确的是（ ）A．FN1增大，FN2减小B．FN1减小，FN2增大C．FN1增大，FN2增大D．FN1减小，FN2减小