题目

已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点. (1)证明：PF⊥FD； (2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD； (3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的平面角的余弦值. 答案：方法一：(1)∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°， AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1，1,0)，D(0,2,0). 不妨令P(0,0，t)，∵＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)， ∴·＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0， 即PF⊥FD. (2)存在.设平面PFD的一个法向量为n＝(x，y，z)，结合(1)， 由，得， 令z＝1，解得：x＝y如图，在正方形区域的四个顶点固定放置四个点电荷，它们的电量的绝对值相等，电性如图，K、L、M、N分别为正方形四条边的中点，O为正方形的中心，下列关于各点的电场强度与电势的判断正确的是（　　） A、K点与M点的电场强度大小相等、方向相反B、O点的电场强度为零C、N点电场强度的大小大于L点电场强度的大小D、K、O、M三点的电势相等