题目

已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1． （1）求f（x）的解析式； （2）当x∈[﹣1，1]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围． （3）设g（t）=f（2t+a），t∈[﹣1，1]，求g（t）的最大值． 答案：解：（1）令f（x）=ax2+bx+c（a≠0）代入f（x+1）﹣f（x）=2x， 得：a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2x，2ax+a+b=2x，即2a=2，a+b=0， ∴， ∴f（x）=x2﹣x+1； （2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＞2x+m恒成立即：x2﹣3x+1＞m恒成立； 令， x∈[﹣1，1]， 则对称轴：， 则g（x）min=g（1）=﹣1， ∴m＜﹣1； （3）g（t）=f（2t+a）=4如图，二次函数y=-x2+ax+b的图象与x轴交于A（-，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）设P是x轴上方的抛物线上的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、A 、M为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．