题目

已知函数f(x)=ax2+4x+b(a、b∈R,a＜0),设关于x的方程f(x)=0的两实根为x1和x2，f(x)=x的两实根为α和β.(1)若a、b均为负整数，|α-β|=1,求f(x)的解析式；(2)若α＜1＜β＜2,求证：x1x2＜2. 答案：(1)解：由题意，α、β是方程ax2+3x+b=0的两根，∴α+β=-,α·β=.1=|α-β|=即a(a+4b)=9.∵a、b均为负整数，∴a与a+4b都是负整数.用两组约数(-1,-9)及(-3，-3)试算知a=-1,a+4b=-9,∴a=-1,b=-2.∴f(x)=-x2+4x-2.(2)证明：∵α、β是方程f(x)=x的两根，即f(x)-x=0,ax2+3x+b=0的两根.记g(x)=ax2+3x+b,∵α＜1＜β＜2,∴(如下图)，即∴-2a-2b＜6＜-4a-b.已知函数在处的切线的斜率为.（1）求实数的值及函数的最大值；（2）证明：．