题目

(本题满分16分） 已知两点的坐标分别为、，动点满足. (1)求动点的轨迹方程; (2)若点在（1）中的轨迹上，且满足为直角三角形，求点的坐标; (3)设经过点的直线与（1）中的轨迹交于两点，问是否存在这样的直线使得为正三角形，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由. 答案：(本题满分16分） 解：（1）∵ ∴点的轨迹是以为焦点，长轴为的椭圆：…5分 （2）如图： ①以为直角顶点时，点的坐标为： ②以为直角顶点时，设点的坐标为，根据直角三角形的性质知： ，即：，解之得：。………………11分 【或：由知：此时为短轴端点】 （3）因为为正三角形，所以 设点的坐标为如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．若sinα=，OP=2．（1）当∠MPN旋转30°（即∠OPM=30°）时，求点N移动的距离；（2）求证：△OPN∽△PMN；（3）写出y与x之间的关系式；（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．