题目

如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，E为BC延长线上的一点，且CE= BC． （1） 求ME的长． （2） 求证：△DMC是等腰三角形． 答案：解：∵AB＝AC，AM平分∠BAC， ∴BM＝CM＝ BC＝CE＝3， ∴ME＝MC＋CE＝3＋3＝6. 证明：∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴AM⊥BC. ∵D为AC的中点，∴DM＝DC， ∴△DMC是等腰三角形．折纸的思考．（操作体验）用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．（1）说明△PBC是等边三角形．（数学思考）（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．（问题解决）（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 cm．