北京市2020-2021学年八年级下学期期末考试数学试题含解析

如图的网格中，每个小正方形的边长为 1 ， A ， B ， C 三点均在格点上，结论错误的是（    ）

A ． AB=2 B ． ∠BAC=90° C ． D ．点 A 到直线 BC 的距离是 2

若实数 a 、 b 、 c 满足 a+b+c ＝ 0 ，且 a ＜ b ＜ c ，则函数 y ＝ -cx-a 的图象可能是（　　）

A ． B ． C ． D ．

在平面直角坐标系 中，对于点 ，若 ，则称点 P 为 “ 同号点 ” ．下列函数的图象中 不存在 “ 同号点 ” 的是（    ）

A ． B ． C ． D ．

如图， PA 、 PB 分别与 ⊙ O 相切于点 A 、 B ， ∠ P ＝ 70° ， C 为弧 AB 上一点，则 ∠ ACB 的度数为 ___ ．

如图，数轴上 A 点表示的数为﹣ 2 ， B 点表示的数是 1 ．过点 B 作 BC ⊥ AB ，且 BC ＝ 2 ，以点 A 为圆心， AC 的长为半径作弧，弧与数轴的交点 D 表示的数为 ___ ．

对于任意的有理数 a ， b ，如果满足 ，那么我们称这一对数 a ， b 为 “ 相随数对 ” ，记为（ a ， b ）．若（ m ， n ）是 “ 相随数对 ” ，则 3 m +2[3 m + （ 2 n ﹣ 1 ） ] ＝ ___ ．

如图，在平面直角坐标系中，点 A 、 B 在函数 y （ k ≠0 ， x ＞ 0 ）的图象上，点 B 在点 A 的右侧，点 A 的坐标为（ 2 ， 4 ），过点 A 作 AD ⊥ x 轴于点 D ，过点 B 作 BC ⊥ x 轴于点 C ，连接 OA 、 AB ，若 D 为 OC 的中点，则四边形 OABC 的面积为 ___ ．

《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个 “ 折竹抵地 ” 问题： “ 今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？ ”

译文： “ 有一根竹子，原高二丈（ 1 丈 =10 尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为 6 尺，问折断处离地面的高度为多少尺？ ”

如图，我们用点 分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度 为 x 尺，则可列方程为 _____________ ．

如图，在矩形 ABCD 中，将边 BC 翻折，翻折后的线段 BE 正好落在对角线 BD 所在的直线上，折痕为 BF ，已知 CF ＝ 1 ， BC ＝ 2 ，则矩形 ABCD 的面积为 ___ ．

已知 x ² ﹣ 4 x +1 ＝ 0 ，则 的值为 ___ ．

将 4 张长为 a 、宽为 b （ a ＞ b ）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（ a + b ）的正方形，图中空白部分的面积之和为 S ₁ ，阴影部分的面积之和为 S ₂ ，若 S ₁ S ₂ ，则 的值为 ___ ．

如图，一幢居民楼 OC 临近坡 AP ，山坡 AP 的坡度为 i ＝ 1 ： （ tanα ），小亮在距山坡坡脚 A 处测得楼顶 C 的仰角为 60° ，当从 A 处沿坡面行走 6 米到达 P 处时，测得楼顶 C 的仰角刚好为 45° ，点 O ， A ， B 在同一直线上，则该居民楼的高度为 ___ （结果保留根号）．

已知 0 ，则 的值为 ___ ．

为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费 y （元）与用水量 x （吨）之间的函数关系．若按照分段收费标准，小颖家三、四月份分别交水费 29 元和 19.8 元，则四月份比三月份节约用水 ___ 吨．

如图所示，将形状、大小完全相同的 “●” 和线段按照一定规律摆成下列图形，第 1 幅图形中 “●” 的个数为 a ₁ ，第 2 幅图形中 “●” 的个数为 a ₂ ，第 3 幅图形中 “●” 的个数为 a ₃ ， … ，以此类推，则 的值为 ___

若 m ， n （ m ＜ n ）是关于 x 的一元二次方程（ x ﹣ a ）（ x ﹣ b ）﹣ 3 ＝ 0 的两根，且 a ＜ b ，则 m ， n ， a ， b 的大小关系是 ___ （用 “ ＜ ” 连接）．

已知函数 y ＝ ax ² +2 bx ﹣ c （ a ＞ 0 ）的图象与 x 轴交于 A （ 2 ， 0 ）、 B （ 6 ， 0 ）两点，则不等式 cx ² +2 bx ﹣ a ＜ 0 的解集为 ___ ．

已知 ⊙ O 的半径为 2 ， A 为圆内一定点， AO ＝ 1 ． P 为圆上一动点，以 AP 为边作等腰 △ APG ， AP ＝ PG ， ∠ APG ＝ 120° ，则 OG 的最大值为 ___ ．

计算：

（ 1 ） ；

（ 2 ）解方程： 1 ；

（ 3 ）解不等式： x 7 ；

（ 4 ）已知 α 是锐角，且 5+sinα ﹣ cosα ＝ 12sinαcosα ，求 tanα+cotα 的值．

如图， 是 的直径，点 C 是 上异于 A 、 B 的点，连接 、 ，点 D 在 的延长线上，且 ，点 E 在 的延长线上，且 ．

（ 1 ）求证： 是 的切线：

（ 2 ）若 ，求 的长．

已知关于 的一元二次方程 ．

（ 1 ）请判断这个方程的根的情况，并说明理由；

（ 2 ）若这个方程的一个实根大于 1 ，另一个实根小于 0 ，求 的取值范围．

小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数： y ＝ f （ x ），若 x ≥0 时， f （ x ）＝ x ² ﹣ 1 ；若 x ＜ 0 时， f （ x ）＝﹣ x +1 ．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．

（ 1 ）下列关于该函数图象的性质正确的是 ；（填序号）

① y 随 x 的增大而增大；

② 该函数图象关于 y 轴对称；

③ 当 x ＝ 0 时，函数有最小值为﹣ 1 ；

④ 该函数图象不经过第三象限．

（ 2 ） ① 在平面直角坐标系 xOy 中画出该函数图象；

② 若关于 x 的方程 2 x + c ＝ f （ x ）有两个互不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出 c 的取值范围是 ．

（ 3 ）若点（ a ， b ）在函数 y ＝ x ﹣ 3 图象上，且 f （ a ） ≤2 ，则 b 的取值范围是 ．

已知二次函数 c 和一次函数 的图象都经过点 A （ -3 ， 0 ），且二次函数 的图象经过点 B （ 0 ， 3 ），一次函数 的图象经过点 C （ 0 ， -1 ）．

（ 1 ）分别求 m 、 n 和 b 、 c 的值；

（ 2 ）点 P 是二次函数 的图象上一动点，且点 P 在 x 轴上方，写出 △ ACP 的面积 S 关于点 P 的横坐标 x 的函数表达式，并求 S 的最大值．