题目

已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长． 答案：【答案】解：（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C。在△APQ与△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，∴△APQ∽△ABC。（2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5。∵∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ。（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示，由（1）可知，△APQ∽△ABC，∴（2013•大兴区一模）已知：如图，过正方形ABCD的顶点B作直线BE平行于对角线AC，AE=AC（E，C均在AB的同侧）．求证：∠CAE=2∠BAE．