27.2 相似三角形知识点题库

如图，在平面直角坐标系中，点A(a，0)是x轴正半轴上一点，PA⊥x轴，点B坐标为(0，b)（b＞0），动点M在y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q，连结AQ，取AQ的中点为C.

（1）若a=2b，点D坐标为(m，n)，求 $\text{[math]}$ 的值；
（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为 $\text{[math]}$ ，求经过点B，Q两点的直线解析式；
（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长.

如图1，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA=PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D.

（1）填空：OD=AC；求证：MC是⊙O的切线；
（2）若OD=9，DM=16，连接PC，求sin∠APC的值；
（3）如图2，在（2）的条件下，延长OB至N，使BN= $\text{[math]}$ ，在⊙O上找一点Q，使得 $\text{[math]}$ 的值最小，请直接写出其最小值为.

如图，矩形ABCD（AB＞AD）中，点M是边DC上的一点，点P是射线CB上的动点，连接AM ， AP ，且∠DAP＝2∠AMD ．

（1）若∠APC＝76°，则∠DAM＝；
（2）猜想∠APC与∠DAM的数量关系为，并进行证明；
（3）如图1，若点M为DC的中点，求证：2AD＝BP+AP；
（4）如图2，当∠AMP＝∠APM时，若CP＝15， $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ 时，则线段MC的长为．

如图1，在边长为1的正方形ABCD中，动点E，F分别在边AB，CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE＝x.

（1）当AM＝ $\text{[math]}$ 时，求x的值；
（2）如图2，连接BM、过B点作BH⊥MN，垂足为H，求证：BM是∠ABH的角平分线；
（3）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；
（4）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.

如图①所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N.

（1）（问题引入）若点O是AC的中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
（2）（探索研究）若点O是AC上任意一点(不与A，C重合)，求证： $\text{[math]}$ ；
（3）（拓展应用）如图②所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E在边BC上，且BE∶EC=2∶1，动点P从点C出发，沿CD运动到点D停止，过点E作EF⊥PE交矩形ABCD的边于F，若线段EF的中点为M，则点P从C运动到D的过程中，点M运动的路线长为.

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如图，正方形EFGH内接于 $\text{[math]}$ ，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．则正方形EFGH的边长是．

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如图，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．

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（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝2，AC＝3，求AD的长．

如图

（1）问题发现
如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一直线上，连接 $\text{[math]}$ .

①线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系为；

② $\text{[math]}$ 的度数为；
（2）拓展探究
如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一直线上，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值及 $\text{[math]}$ 的度数；
（3）解决问题
如图3，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，请直接写出点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 的中点，过点D作 $\text{[math]}$ ，垂足为点E，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

如图，在四边形ABCD中，AC∥BD，BD－AC=4，连接BC，设AC＝x，BC＝y，若∠ABC＝∠BDC，则y²－6x的最小值为.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为．

如图，四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均是正方形，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一直线上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为多少？