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一元二次方程的实际应用-几何问题
一元二次方程的实际应用-几何问题 知识点题库
如图1,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.
(1) 求直线AB的解析式;
(2) 当点P运动到点(
,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;
(3) 是否存在点P,使△OPD的面积等于
?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
为创建“国家生态园林城市”,某小区在规划设计时,在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地,并且长比宽多40米.设绿地宽为x米,根据题意,可列方程为
.
如图所示,
中,
,
,
.
(1) 点
从点
开始沿
边向
以
的速度移动,点
从
点开始沿
边向点
以
的速度移动.如果
、
分别从
,
同时出发,线段
能否将
分成面积相等的两部分?若能,求出运动时间;若不能说明理由.
(2) 若
点沿射线
方向从
点出发以
的速度移动,点
沿射线
方向从
点出发以
的速度移动,
、
同时出发,问几秒后,
的面积为
?
如图,某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78m
2
, 那么通道的宽应设计成多少m?设通道的宽为
m,由题意列得方程
.
改善小区环境,争创文明家园.如图所示,某社区决定在一块长(
)16
,宽(
)9
的矩形场地
上修建三条同样宽的小路,其中两条与
平行,另一条与
平行,其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112
,则小路的宽应为多少?
用长1米的金属丝制成一个矩形框子,框子各边长取多少时,框子的面积是500cm
2
?
将一块正方形的铁皮四角剪去一个边长为4
的小正方形,做成一个无盖的盒子,如下图所示,已知盒子的容积是400
,求原铁皮的边长.
伊斯兰数学家塔比·伊本·库拉( Thabit ibn Qurra,830-890)在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法。例如:可以用如图来解关于x的方程
,其中ABFE为长方形,ABCD为正方形,且DE=m,BF×CD=n,则方程
的其中一个正根为( )
A .
DE的长
B .
AB的长
C .
AE的长
D .
BE的长
如图,在一幅长80 cm,宽50 cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是5 400 cm
2
, 设金色纸边的宽为
x
cm,那么
x
满足的方程是( )
A .
x
2
+130
x
-1 400=0
B .
x
2
-65
x
-350=0
C .
x
2
-130
x
-1 400=0
D .
x
2
+65
x
-350=0
如图1,有一张长
宽
的长方形硬纸片,裁去角上
个小正方形和
个小长方形(图中阴影部分)之后,恰好折成如图2的有盖纸盒.
(1) 若纸盒的高是
cm,求纸盒底面长方形的长和宽;
(2) 若纸盒的底面积是
,求纸盒的高.
某农场要建一个饲养场(矩形
)两面靠现有墙(
位置的墙最大可用长度为21米,
位置的墙最大可用长度为15米),另两边用木栏围成,中间也用木栏隔开,分成两个场地及一处通道,并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏).建成后木栏总长45米,设饲养场(矩形
)的一边
长为x米.
(1) 饲养场另一边
米(用含x的代数式表示);
(2) 若饲养场
的面积为180平方米,求x的值;
(3) 饲养场
的面积能围成面积比
更大的吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.
某市有一块正方形的空地需要美化,规划设计图如图所示,空地正中间修建一个圆形喷泉, 在四个角分别修建四个四分之一圆形的水池,其余部分种植花草.若喷泉和水池的半径都相同,喷泉边缘到空地边界的距离都为3 m,种植花草的区域的面积为60 m
2
, 设水池半径为
m,根据题意可列出方程为
某公司计划用32m的材料沿墙(可利用)建造一个面积为120m
2
的仓库,设仓库中和墙平行的一边长为xm,则下列方程中正确的是( )
A .
x(32﹣x)=120
B .
x(16﹣
x)=120
C .
x(32﹣2x)=120
D .
x(16﹣x)=120
学校为了美化校园环境,在一块长40米,宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米,宽7米的长方形花圃.
(1) 若请你在这块空地上设计一个长方形花圃,使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米,请你给出你认为合适的三种不同的方案;
(2) 在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃的面积能否增加2平方米?如果能,请求出长方形花圃的长和宽;如果不能,请说明理由.
如图,某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为78m
2
, 那么通道的宽应设计成多少m?设通道的宽为xm,由题意列得方程
.
如图,在长为20m,宽为12m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为整个矩形面积的
,则道路的宽为
米.
如图,用长为32米的篱笆围成一个矩形场地
,矩形的一面利用墙(墙的长度为18米),当矩形场地的面积为120平方米时,求矩形的边长
.
如图,在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分) ,余下部分种植草坪,要使草坪的面积为540平方米,则设道路的宽为xm,根据题意,列方程( ) .
A .
B .
C .
D .
如图所示,在宽为20m,长为32m的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分铺上草坪.要使草坪的面积为540m
2
, 求道路的宽.如果设道路宽为xm,根据题意,所列方程正确的是( )
A .
(20-x)(32-x)=540
B .
(20-2x)(32-2x)=540
C .
(20+x)(32-x)=540
D .
(20+2x)(32-2x)=540
如图,在长方形ABCD中,BC=20cm,P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在长方形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止,已知在相同时间内,若BQ=xcm(x≠0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x²cm.
(1) 当x为何值时,点的运动停止?
(2) 点P与点N可能相遇吗?点Q与点M呢?请通过计算说明理由.
(3) 当x为何值时,以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形?
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