圆-动点问题知识点题库

如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴分别交于A ， B两点，C是以D(2，0)为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆上一动点，连接AC ， BC ，则△ABC的面积的最大值是．

我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形(如图 $\text{[math]}$ )，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形. 图 $\text{[math]}$ 是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图.

图1 图2

有如下四个结论：

①勒洛三角形是中心对称图形

②图1中，点A到 $\text{[math]}$ 上任意一点的距离都相等

③图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等

④使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，会发生上下抖动

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A . ①② B . ②③ C . ②④ D . ③④

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线 $\text{[math]}$ ，过圆心 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

（1）判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并证明结论；
（2）若四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）若 $\text{[math]}$ 运动后能与 $\text{[math]}$ 重合，则 $\text{[math]}$ ，请说明图形的运动过程.

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB＝2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，D是⊙O上一动点，连结BD ，过点B作BE⊥BD交直线DC于点E ．

（1）当点D是 $\text{[math]}$ 的中点时，求△BCD的面积；
（2）过点B作BF⊥DE于点F ，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）在点D运动过程中，求线段AE的最大值．

先阅读材料，再解答问题：

已知点 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ ，则点P到直线 $\text{[math]}$ 的距离d可用公式 $\text{[math]}$ 计算．例如：求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离．

解：由直线 $\text{[math]}$ 可知： $\text{[math]}$ ．

所以点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ．

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求：

（1）求点P（2，-1）到直线y=x+1的距离．
（2）已知直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行，求这两条平行线之间的距离；
（3）如图已知直线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点，☉C是以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆， $\text{[math]}$ 为☉C上的动点，试求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于任意三点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 我们给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差我们称为“横距”；三点中纵坐标的最大值与最小值的差我们称之为“纵距”；若三点的横距与纵距相等，我们称这三点为“等距点”．

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已知：点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ：

（1）在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为等距点的是；
（2）点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一动点，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点为等距点， $\text{[math]}$ 的值为；
（3）已知点 $\text{[math]}$ ，有一半径为1，圆心为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点为等距点，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值的范围．

如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $\text{[math]}$ 的顶点A，B，O均落在格点上， $\text{[math]}$ 为⊙O的半径．

（1） $\text{[math]}$ 的大小等于（度）；
（2）将 $\text{[math]}$ 绕点O顺时针旋转，得 $\text{[math]}$ ，点A，B旋转后的对应点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ，设线段 $\text{[math]}$ 的中点为M，连接 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点 $\text{[math]}$ ，并简要说明点 $\text{[math]}$ 的位置是如何找到的（不要求证明）．

如图，⊙O的半径为1，弦 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为劣弧 $\text{[math]}$ 上一个动点，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 由点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 的运动路径长为.

如图，在平面直角坐标系中，点A在一次函数 $\text{[math]}$ 位于第一象限的图象上运动，点B在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则OD的最大值是．

如图， $\text{[math]}$ 是半圆的直径，C为半圆的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点C ，则k的值为．

如图，半径为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为直径，弦 $\text{[math]}$ 且过半径 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发顺时针运动到点 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 所经过的路径长为．

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，M是AD的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△ $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是

对于平面内的图形 $\text{[math]}$ 和图形 $\text{[math]}$ ，记平面内一点 $\text{[math]}$ 到图形 $\text{[math]}$ 上各点的最短距离为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到图形 $\text{[math]}$ 上各点的最短距离为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，就称点 $\text{[math]}$ 是图形 $\text{[math]}$ 和图形 $\text{[math]}$ 的一个“等距点” ．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点中，点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的等距点是；
（2）已知直线 $\text{[math]}$ ．
①若点 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的等距点在 $\text{[math]}$ 轴上，则该等距点的坐标为 ▲ ；

②若直线 $\text{[math]}$ 上存在点 $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ 的等距点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（3）记直线 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，以原点 $\text{[math]}$ 为圆心作半径为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 上有 $\text{[math]}$ 个直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的等距点，以及 $\text{[math]}$ 个直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 轴的等距点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），求 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．

在平面直角坐标系内，以原点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作圆，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上运动，过点 $\text{[math]}$ 作该圆的一条切线，切点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

如图，半径为2，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH，交OA于点H，设△OPH的内心为I，当点P在弧AB．上从点A运动到点B时，线段BI的最小值为

如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P，Q两点（Q在P，H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．

（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A，B，C，D．
①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则⊙O关于直线m的“远点”是点 ▲ （填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为 ▲ ；
②若直线n的函数表达式为 $\text{[math]}$ ，求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy、中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（–1，0）是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是 $\text{[math]}$ ，直接写出直线l的函数解析式．

如图， $\text{[math]}$ 为等边三角形， $\text{[math]}$ ，点M、N分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，连 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点P，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长度的最小值为．

阅读下列材料，并按要求解答相关问题：

【思考发现】根据直径所对的圆周角是直角，我们可以推出“如果一条定边所对的角始终为直角，那么所有满足条件的直角顶点组成的图形是以定边为直径的圆或圆弧（直径的两个端点除外）”这一正确的结论．

如图1，若AB是一条定线段，且 $\text{[math]}$ ，则所有满足条件的直角顶点P组成的图形是定边AB为直径的 $\text{[math]}$ （直径两端点A、B除外）

（1）已知：如图2，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E从点B出发向点C运动，同时点F从点C出发以相同的速度向点D运动，连接AE，BF相交于点P．
①当点E从点B运动到点C的过程中， $\text{[math]}$ 的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请直接写出 $\text{[math]}$ 的度数．
②当点E从点B运动到点C的过程中，点P运动的路径是（）
A．线段；B．弧；C．半圆；D．圆
③点P运动的路经长是 ▲ ．
（2）已知：如图3，在图2的条件下，连接CP，请直接写出E、F运动过程中，CP的最小值．

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的动点，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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