圆的综合题知识点题库

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：

①△ADF∽△AED；②FG=3；③tan∠E= $\text{[math]}$ ；④S_△ADE=6 $\text{[math]}$ ．

其中正确的有个数是（　　）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA=3，AC=3 $\text{[math]}$ ﹣3，CD∥AB，并与弧AB相交于点M、N．

（1）求线段OD的长；
（2）若sin∠C= $\text{[math]}$ ，求弦MN的长；
（3）在（2）的条件下，求优弧MEN的长度．

如图，动点M在以O为圆心，AB为直径的半圆弧上运动（点M不与点A、B 及 $\text{[math]}$ 的中点F 重合），连接OM．过点M 作ME⊥AB于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，过点M作⊙O的切线交射线DC于点N，连接BM、BN．

（1）
探究：如图一，当动点M在 $\text{[math]}$ 上运动时；

①判断△OEM∽△MDN是否成立？请说明理由；
②设 $\text{[math]}$ =k，k是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
③设∠MBN=α，α是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
（2）
拓展：如图二，当动点M 在 $\text{[math]}$ 上运动时；

分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论．（均不必说明理由）

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．

（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC²=AD•AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．

已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．

（1）求证：ED=EC
（2）若CD=3，EC= $\text{[math]}$ ，求AB的长

如图（1），四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．

（1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
（2）求证：∠ACF=90°；
（3）连接AF，过A，E，F三点作圆，如图（2）．若EC=4，∠CEF=15°，求 $\text{[math]}$ 的长．

如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一动点（不与点C重合），对角线AC与BD相交于点O，连接AE，交BD于点G.

（1）根据给出的△AEC，作出它的外接圆OF，并标出圆心F（不写作法和证明，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接EF.
①求证：∠AEF=∠DBC；

②记t=GF²+AG·GE，当AB=6，BD=6 $\text{[math]}$ 时，求t的取值范围.

如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE.

（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；
（2）求证：OA²＝OE•DC：
（3）求tan∠ACD的值.

如图①，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，点D是AC边上一点（不与C重合），以AD为直径作⊙O，过C作CE切⊙O于E，交AB于F.

（1）若⊙O半径为2，求线段CE的长；
（2）若AF＝BF，求⊙O的半径；
（3）如图②，若CE＝CB，点B关于AC的对称点为点G，试求G、E两点之间的距离.

已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，以AB为直径的⊙O交BC于点D，CA的延长线与⊙O相交于点E，连结BE．

（1）求证：∠BAC＝2∠EBC．
（2）若AC＝5，BC＝8，求BE的长．

对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在一个点M，使得MP＝MC，则称点P为⊙C的“等径点”，已知点D（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），E（0，2 $\text{[math]}$ ），F（﹣2，0）．

（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是哪几个点；

②作直线EF，若直线EF上的点T（m，n）是⊙O的“等径点”，求m的取值范围．
（2）过点E作EG⊥EF交x轴于点G，若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围．

如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，过A作AP∥BC交CO的延长线于点P.

（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若BC＝8，tanB＝2，求PA的长.

$\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

（1）如图1，求证: $\text{[math]}$ ；
（2）如图2，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求证: $\text{[math]}$ ；
（3）如图3，在 $\text{[math]}$ 的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆，连结OA、OB、OC ，延长BO与AC交于点D ，与 $\text{[math]}$ 交于点F ，延长BA到点G ，使得 $\text{[math]}$ ，连接FG.

图片_x0020_100020 图片_x0020_100021

备用图

（1）求证：FG是 $\text{[math]}$ 的切线；
（2）若 $\text{[math]}$ 的半径为4.
①当 $\text{[math]}$ ，求AD的长度；

②当 $\text{[math]}$ 是直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的面积.

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的切线交直径 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

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（1）求证： $\text{[math]}$ ．
（2）若 $\text{[math]}$ 的半径长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，写出求线段 $\text{[math]}$ 长的思路（不用求出结果）．

已知：△ABC为等边三角形．

（1）求作：△ABC的外接圆⊙O ．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）射线AO交BC于点D ，交⊙O于点E ，过E作⊙O的切线EF ，与AB的延长线交于点F ．
①根据题意，将（1）中图形补全；

②求证：EF∥BC；

③若DE＝2，求EF的长．

如图，四边形OABC中， $\text{[math]}$ ．OA=OC， BA=BC．以O为圆心，以OA为半径作☉O

（1）求证：BC是☉O的切线:
（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与此的延长线交于点F若 $\text{[math]}$ ．
①补全图形；

②求证：OF=OB．

（1）小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图1，若 $\text{[math]}$ 是圆内接正三角形 $\text{[math]}$ 的外接圆的 $\text{[math]}$ 上任一点，则 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，可证明 $\text{[math]}$ 是（填“等腰”、“等边”或“直角”）三角形，从而得到 $\text{[math]}$ ，再进一步证明 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，可证得：
（2）小迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图2，若 $\text{[math]}$ 是圆内接正四边形 $\text{[math]}$ 的外接圆的 $\text{[math]}$ 上任一点，则 $\text{[math]}$ °，分别过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．
（3）写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由．

直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1） $\text{[math]}$ 的半径；
（2）圆心 $\text{[math]}$ 点到 $\text{[math]}$ 距离．

如图，点O是Rt $\text{[math]}$ ABC的斜边AB上一点，⊙O与边AB交于点A，D，与AC交于点E，点F是弧DE的中点，边BC经过点F，连接AF．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AF=8，求AC的长.

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