分段函数知识点题库

三军受命，我解放军各部奋力抗战在救灾一线.现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到该小镇只有唯一通道，且路程为24km.如图是他们行走的路程关于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息，其中正确的个数是（　）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

一位记者乘汽车赴360km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（）

A . 汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h B . 乡村公路总长为90km C . 汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h D . 该记者在出发后4.5h到达采访地

某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：

产品	每件售价（万元）	每件成本（万元）	每年其他费用（万元）	每年最大产销量（件）
甲	6	a	20	200
乙	20	10	40+0.05x²	80

其中a为常数，且3≤a≤5

（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y₁万元、y₂万元，直接写出y₁、y₂与x的函数关系式；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．

如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）

A .

B .

C .

D .

一次越野跑中，当李明跑了1600米时，小刚跑了1450米，此后两人匀速跑的路程s（米）与时间t（秒）的关系如图，结合图象解答下列问题：Ⅰ.请你根据图象写出二条信息；Ⅱ.求图中S₁和S₀的位置.

如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，3），直线x=-3交x轴于点B，P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交于直线x=﹣3于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于M，交直线x=﹣3于点N。

（1）当点C在第二象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）设AP长为m，以P、O、B、C为顶点的四边形的面积为S，请求出S与M之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=-3上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标，如果不可能，请说明理由。

九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：

时间x（天）	1≤x＜50	50≤x≤90
售价（元/件）	x+40	90
每天销量（件）	200﹣2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．

（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．

对于平面直角坐标系中的任意两点P₁(x₁ ， y₁)，P₂(x₂ ， y₂)，我们把|x₁－x₂|+|y₁－y₂|叫做P₁、P₂两点间的直角距离，记作d(P₁ ， P₂)．

（1）令P₀(2，－3)，O为坐标原点，则d(O，P₀)＝；
（2）已知O为坐标原点，动点P(x，y)满足d(O，P)＝1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；
（3）设P₀(x₀ ， y₀)是一定点，Q(x，y)是直线y=ax+b上的动点，我们把d(P₀ ， Q)的最小值叫做P₀到直线y=ax+b的直角距离．若P(a，－3)到直线y=x＋1的直角距离为6，求a的值．

平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：

若 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 的“可控变点”．

例如：点 $\text{[math]}$ 的“可控变点”为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的“可控变点”为点 $\text{[math]}$ ．

（1）点 $\text{[math]}$ 的“可控变点”坐标为．
（2）若点 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，其“可控变点” $\text{[math]}$ 的纵坐标 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ ，直接写出“可控变点” $\text{[math]}$ 的横坐标．

某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间为一次函数关系，如图所示．

（1）求y与x的函数表达式；
（2）要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元？

如图，矩形ABCD的周长是28cm，且AB比BC长2cm.若点P从点A出发，

以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的

速度沿A→B-→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止运动.若

设运动时间为t(s)， $\text{[math]}$ 的面积为S(cm2)，则s(cm2)与t(s)之间的函数图象大致

是（）

A .

B .

C .

D .

如图，在一个内角为60°的菱形 ABCD中，AB＝2，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD→DC的路径运动，到点C停止，过点P 作PQ⊥BD，PQ 与边AD（或边CD）交于点Q，△ABQ的面积y（cm²）与点P 的运动时间x（秒）的函数图象大致是（）

图片_x0020_100009

A .

B .

C .

D .

如图1，小球从光滑斜坡AB滚下，经过粗糙平路BC，再从光滑斜坡CD上坡至速度变为0后，又沿解坡DC滚下坡，经过粗糙平路CB，沿BA上坡至速度变为0……往返运动至小球停止；图2是某小球在运动过程中，速度，(cm/s)和时间r(s)的部分函数图象.(在同一段路程中，路程S=v_平均·t， v_平均= $\text{[math]}$ )

（1）根据图象，求小球第一次从点B运动到点C时，速度v关于时间的函数解析式；
（2）求第一次在斜披CD上滚动的最大距离；
（3）在图2中画出第一次返回时ν关于r的函数图象；
（4）直接写出当小球停止时所走过的总路程.

定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于任意两点P(m ， y)Q(m ， y₀)，m为任意实数．若y₀= $\text{[math]}$ ，则称点Q是点P的变换点．例如：若点P(1，y)在直线y=x上，点P的变换点Q在函数y= $\text{[math]}$ 的图象上设点P(m ， y)在函数y=﹣x²+2x+3的图象上，点P的变换点Q所在的图象记为G ．

（1）求图象G对应的函数关系式；
（2）设图象G与x轴的交点为A、B(点A在点B的左侧)与y轴交于点C ，连结AC、BC ，求△ABC的面积；
（3）当﹣2≤x≤m时，若图象G的最高点与最低点之间的距离不大于 $\text{[math]}$ ，直接写出m的取值范围；
（4）设点P( $\text{[math]}$ ，y)在函数y=ax²﹣3ax﹣4a(a≠0)的图象上，点P的变换点Q所在的图象记为G₁ ，图象G₁与x轴的交点为M、N(点M在点N的左侧)，连结MN ，将MN沿y轴向上平移一个单位得到线段M'N'，当图象G₁与线段M'N'只有一个交点时，求a的取值范围．

现有两家可以选择的快递公司的收费方式如下.

甲公司：物品重量不超过1千克的，需付费20元，超过1千克的部分按每千克4元计价.

乙公司：按物品重量每千克7元计价，外加一份包装费10元.设物品的重量为x千克，甲、乙公司快递该物品的费用分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

图片_x0020_100018

（1）分别写出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 与x的函数表达式（并写出x的取值范围）；
（2）图中给出了 $\text{[math]}$ 与x的函数图象，请在图中画出（1）中 $\text{[math]}$ 与x的函数图象（要求列表，描点）.

x

…

…

y

…

…

八年级（1）班张山同学利用所学函数知识，对函数y＝|x+2|﹣x﹣1进行了如下研究：

列表如下：

x		﹣5	﹣4	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3
Y		7	5	3	m	1	n	1	1	1

描点并连线（如下图）

图片_x0020_1359797799

（1）求表格中的m、n的值；
（2）在给出的坐标系中画出函数y＝|x+2|﹣x﹣1的图象；
（3）一次函数y＝﹣x+3的图象与函数y＝|x+2|﹣x﹣1的图象交点的坐标为．

在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：若 $\text{[math]}$ 则称点 $\text{[math]}$ 为点 $\text{[math]}$ 的限变点.

（1）点 $\text{[math]}$ 的限变点的坐标是，点 $\text{[math]}$ 的限变点的坐标是.
（2）若点 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，其限变点 $\text{[math]}$ 的纵坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
（3）若点 $\text{[math]}$ 在关于 $\text{[math]}$ 的二次函数 $\text{[math]}$ 的图象上，其限变点 $\text{[math]}$ 的纵坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数表达式及 $\text{[math]}$ 的取值范围.

已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：

（1）如图2，在正方形ABCD中，点为线段BC关于点B的逆转点；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．
①补全图；

②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；

③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质，探究过程如下，请补充完整.

（1）列表：

…

$\text{[math]}$

…

$\text{[math]}$

…

其中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象.
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点 $\text{[math]}$ ，在函数图象上，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；（填“＞”，“＝”或“＜”）

②当函数值时 $\text{[math]}$ ，求自变量x的值；

小明、小宏两人在一条笔直的道路上相向而行，小明骑自行车从甲地到乙地，小宏开车从乙地到甲地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知小明先出发6分钟后，小宏才出发，在整个过程中，小明、小宏两人的距离y（千米）与小明出发的时间x（分）之间的关系如图所示，已知A点坐标为(6，15)，B(16，0)，则C点坐标为．

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