尺规作图的定义知识点题库

下列语句是有关几何作图的叙述．

①以O为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作∠AOB ，使∠AOB=∠1；④作直线AB ，使AB=a；⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线．其中正确的有

以下作图，用一对三角尺不能办到的是（　　）

A . 画一个45°的角，再把它三等分 B . 画一个15°的角，再把它三等分 C . 画一个周角，再把它三等分 D . 画一个平角，再把它三等分

如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于 $\text{[math]}$ BC长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED= $\text{[math]}$ AB中，正确的个数为（　　）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC ．

（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM ，使∠ACM=∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）若（1）中的射线CM交AB于点D ， AB=9，AC=6，求AD的长．

尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．

如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．

如图，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B ，与AC相交于点D ．

（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母．（保留作图痕迹，不写作法）
①作∠BAC的平分线AE ，交⊙O于点E；

②连接BE并延长交AC于点F ．

探索与发现：
（2）试猜想AF与AB有怎样的数量关系，并证明；
（3）若AB＝10，sin∠FBC＝ $\text{[math]}$ ，求BF的长．

如图，∠MON=60°，OF平分∠MON ，点A在射线OM上， P ， Q是射线ON上的两动点，点P在点Q的左侧，且PQ=OA ，作线段OQ的垂直平分线，分别交OM ， OF ， ON于点D ， B ， C ，连接AB ， PB ．

（1）依题意补全图形；
（2）判断线段 AB ， PB之间的数量关系，并证明；
（3）连接AP ，设 $\text{[math]}$ ，当P和Q两点都在射线ON上移动时， $\text{[math]}$ 是否存在最小值？若存在，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

已知矩形ABCD的顶点A、D在圆上，B、C两点在圆内，请仅用没有刻度的直尺作图．

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（1）如图1，已知圆心O，请作出直线l⊥AD；
（2）如图2，未知圆心O，请作出直线l⊥AD．

已知边长为a的正方形ABCD和∠O=45°．

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（1）以∠O 为一个内角作菱形OPMN，使OP=a（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）设正方形ABCD的面积为S₁ ，菱形OPMN的面积为S₂ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

已知：线段 $\text{[math]}$ ．

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求作： $\text{[math]}$ ，使其斜边 $\text{[math]}$ ，一条直角边 $\text{[math]}$ ．

作法：①作线段 $\text{[math]}$ ；

②分别以点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

③以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作⊙ $\text{[math]}$ ；

④以点 $\text{[math]}$ 为圆心，线段 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧交⊙ $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 就是所求作的直角三角形．

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（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上，

∴点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为⊙ $\text{[math]}$ 的半径．

∴ $\text{[math]}$ 为⊙ $\text{[math]}$ 的直径．

∵点 $\text{[math]}$ 在⊙ $\text{[math]}$ 上，

∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （）（填推理的依据）．

∴ $\text{[math]}$ 为直角三角形．

尺规作图题

已知：如图，线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直角 $\text{[math]}$ ．

求作： $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（注：不写作法，保留作图痕迹）

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如图，菱形ABCD及点P ，请仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图.

（1）如图1，若点P在AB上，请在CD上作出点Q ，使CQ=AP；
（2）如图2，若点P在菱形ABCD外，请在菱形外作点Q ，使△CQD≌△APB.

综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动．

操作发现

“杨辉”小组的同学用一张钝角三角形纸片 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为钝角，进行了如下操作：

第一步：如图1，折出 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ；

第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使预点A与点D重合，拆痕 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点E，F；

第三步：如图3，再次展平纸片，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可得四边形 $\text{[math]}$ ．

（1）在图4的 $\text{[math]}$ 中利用尺规作出折痕 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）实践探究
试判断图3中四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并写出证明过程；
（3）深入探究
“陈景润”小组的同学突发奇想，在“杨辉”小组同学操作的基础上设计了这样一个问题：在图3中，连接 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 于点P，交 $\text{[math]}$ 于点Q，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用相似三角形的知识可以求出 $\text{[math]}$ 的长．请你写出求解过程．

如图，在4×3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的线段叫网格线段，点A固定在格点上．

（1）若a是图中能用网格线段表示的最小无理数，b是图中能用网格线段表示的最大无理数，则a＝，b＝；
（2）请你画出顶点在格点上且边长为 $\text{[math]}$ 的所有菱形ABCD，你画出的菱形面积为；

如图在⊙O中，OA是半径，OA＝4．

（1）用直尺和圆规作OA的垂直平分线BC，BC交OA于点D，交⊙O于点B、C（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在第（1）问的基础上，求线段BC的长度．

已知：线段 $\text{[math]}$ ．

求作：线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ．

作法：①在线段 $\text{[math]}$ 上方取一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

②以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径画弧，再以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径画弧，两弧交于线段 $\text{[math]}$ 下方的点 $\text{[math]}$ ；

③连接 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

则点 $\text{[math]}$ 即为所求的中点．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∴四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．（）（填推理的依据）

∵对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，

∴点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点．（）（填推理的依据）

如图，小刚爸爸要利用一块形状为直角三角形（∠C为直角）的铁皮加工一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上，请协助小刚爸爸用尺规画出裁割线．

下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是．

① ② ③ ④

如图，已知线段a与线段b，点O在直线MN上，点A在直线MN外．

（1）请利用直尺和圆规，按照下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
①作线段OA；
②在射线OM上作线段OB＝a，并作直线AB；
③在射线ON上取一点C，使OC＝b，并作射线AC；
（2）写出图中的一个以A为顶点的锐角：．

请阅读下列材料，完成相应的任务：

无刻度直尺作图

“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．

如图1，已知：点P是线段 $\text{[math]}$ 的中点，分别以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 的同侧作 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求作：线段 $\text{[math]}$ 的中点E．

按照常规思路，用尺规作线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线，垂足即为 $\text{[math]}$ 的中点．仔细分析图形，你会发现，只用无刻度的直尺连接线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交点E即为 $\text{[math]}$ 的中点！（如图2）．证明如下：连接 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．（依据1）

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

同理， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形．（依据2）

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．

（1）任务：写出上述证明过程中依据1与依据2的内容：
依据1：；
依据2：；
（2）如图3，在 $\text{[math]}$ 中，点E是 $\text{[math]}$ 边的中点，请利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写画法．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 ▲ 题．
A．求作： $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的面积相等．
B．求作： $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的面积与 $\text{[math]}$ 的面积相等．

尺规作图的定义 知识点题库

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