函数单调性的判断与证明知识点题库

对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]，同时满足下列条件：

（1）f（x）在[m，n]上是单调的；

（2）当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．若函数f（x）= $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ （a＞0）存在“和谐区间”，则实数a的取值范围是．

已知函数f（x）=3^|^x^|+log₃|x|．

（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）说明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并利用单调性定义证明；
（3）若 f（2^a）＜28，求实数a的取值范围．

对于函数 ①f（x）=lg（|x﹣2|+1），②f（x）=（x﹣2）² ， ③f（x）=cos（x+2）．给出如下三个命题：

命题甲：f（x+2）是偶函数；

命题乙：f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；

命题丙：f（x+2）﹣f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是．

已知函数 $\text{[math]}$ 是奇函数（a∈R）．

（1）求实数a的值；
（2）试判断函数f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t²﹣（m+1）t）+f（t²﹣m﹣1）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

已知函数f（x）= $\text{[math]}$ 的定义域为（﹣1，1），满足f（﹣x）=﹣f（x），且f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（x²﹣1）+f（x）＜0．

已知函数 $\text{[math]}$ 的图象过点 $\text{[math]}$ ．

（1）求实数 $\text{[math]}$ 的值；
（2）若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数），求实数 $\text{[math]}$ 的值；
（3）用定义法证明：函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是单调减函数．

已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）求方程 $\text{[math]}$ 的根；
（2）求证： $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数；
（3）若对于任意 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的最小值.

已知定义域为R的函数 $\text{[math]}$ 是奇函数．

（1）求a的值；
（2）试判断 $\text{[math]}$ 的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意的 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求k的取值范围．

已知函数 $\text{[math]}$ ，

（1）证明函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
（2）求函数 $\text{[math]}$ 的最小值和最大值.

已知函数 $\text{[math]}$ .

（1）求它的定义域和值域；
（2）用单调性的定义证明: $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减.

已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数.

（1）求函数 $\text{[math]}$ 的解析式；
（2）求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
（3）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有两个零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

已知函数 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）设 $\text{[math]}$ ，用定义证明：函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数；

（Ⅱ）若函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

已知函数 $\text{[math]}$ 对任意 $\text{[math]}$ ，总有 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

(Ⅰ)求证：函数 $\text{[math]}$ 是奇函数；

(Ⅱ)利用函数的单调性定义证明， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调递减；

(Ⅲ)若不等式 $\text{[math]}$ 对于任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

已知函数 $\text{[math]}$

（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）判断函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数还是减函数？并证明；
（3）求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的最大值和最小值.

如果对定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数 $\text{[math]}$ ，满足对于任意两个不相等的正实数 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 函数”，下列函数为“ $\text{[math]}$ 函数”的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

设函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

几位同学在研究函数 $\text{[math]}$ 时给出了下列结论正确是（）

A . $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称 B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减 C . $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有最大值