数学奥林匹克高中训练题,169

1. 填空题	详细信息
已知向量满足.则的最大值为______.

2. 填空题	详细信息
半径为的球的内接圆柱表面积最大值为______.

3. 填空题	详细信息
不定方程的正整数解的解集为______.

4. 填空题	详细信息
己知,,.则的最小值为______.

5. 填空题	详细信息
已知偶函数满足对任意，均有且，若方程恰有5个实数解，则实数的取值范围是_______.

6. 填空题	详细信息
为双曲线在第一象限上的点,为点关于原点对称的点,轴于点,直线与双曲线交于点 (异于).若的角平分线斜率为1,则此双曲线的离心率为______.

7. 填空题	详细信息
反复抛掷一枚质地均匀的色子,每一次抛掷后均记录正面向上的点数,当记录有四个不同的点数时即停止抛掷.则恰好抛掷六次后停止抛掷的不同记录结果总数为______.

8. 填空题	详细信息
从1,2,…,2013中取出个不同的数,组成个三元数组.若这个数两两不等,且均小于2013,则的最大值为______.

9. 解答题	详细信息
已知抛物线,为平面内一动点,过引抛物线的两条切线,切点分别为.若的面积为定值,求点的轨迹方程.

10. 解答题	详细信息
已知数列满足：,且对任意非负整数均有.求的值(表示不超过实数的最大整数).

11. 解答题	详细信息
已知,.求最大的正整数,使得对任意的正数,存在实数满足,且.

12. 解答题	详细信息
如图,已知以为直径的与的边分别交于点,与交于点,为线段上一点, ,交于点,且交于点.证明：三点共线.

13. 解答题	详细信息
已知,且.证明：.

14. 解答题	详细信息
求最小的正整数,使得的所有正约数的平方和为.

15. 解答题	详细信息
求最小的正整数,使得存在一个的数阵满足如下条件： (1)每一个数均属于集合; (2)记为数阵中第行中的数组成的集合, 为第列中的数组成的集合,则,是4026个不同的集合.