江苏省南京市2020-2021学年度高二上学期开学考试数学试题含详解

圆 的圆心坐标和半径分别是（ ）

A ． (1 ， 0) ， 2 B ． ( － 1 ， 0) ， 2 C ． (1 ， 0) ， 4 D ． ( － 1 ， 0) ， 4

（ ）

A ． B ． C ． D ．

若直线 与直线 平行，则 a = （    ）

A ． -3 或 -1 B ． -1 C ． -3 D ．

设 是不同的直线， 是不同的平面，则下列选项中正确的是（ ）

A ．若 ， ，则 B ．若 ， ，则

C ．若 ， ， ，则 D ．若 ， ， ，则

在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，若 ， ， ，则解此三角形的结果有（ ）

A ．无解 B ．一解 C ．两解 D ．一解或两解

已知 ， ，则 （ ）

A ． B ． C ． D ．

已知 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边，且 ， ， ，则 的面积为（ ）

A ． B ． C ． D ．

已知椭圆 的左，右焦点分别是 ，若椭圆上存在一点 ，使 （ 为坐标原点），且 ，则实数 的值为（ ）

A ． 2 B ． C ． D ． 1

已知 为虚数单位，则 等于（ ）

A ． B ． 1 C ． D ．

椭圆 的焦点坐标是（ ）

A ． B ． C ． D ．

若函数 在区间 上存在极值点，则实数 的取值范围是（ ）

A ． B ． C ． D ．

为参加校园文化节，某班推荐 2 名男生 3 名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器 1 人，舞蹈 2 人，演唱 2 人．若每人只参加 1 个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同推荐方案的种数为（    ）

A ． 12 B ． 24 C ． 36 D ． 48

函数 在下面哪个区间内是增函数

A ． B ． C ． D ．

某人射击一次命中目标的概率为 ，且每次射击相互独立，则此人射击 7 次，有 4 次命中且恰有 3 次连续命中的概率为

A ． B ． C ． D ．

已知函数 ，则不等式 的解集是

A ． B ．

C ． D ．

法国的数学家费马（ PierredeFermat ）曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想：当整数 时，找不到满足 的正整数解．该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定理．现任取 ，则等式 成立的概率为（ ）

A ． B ． C ． D ．

已知直线 l ₁ ： 3 x ﹣ y ﹣ 1 ＝ 0 ， l ₂ ： x ＋ 2 y ﹣ 5 ＝ 0 ， l ₃ ： x ﹣ ay ﹣ 3 ＝ 0 不能围成三角形，则实数 a 的取值可能为（ ）

A ． 1 B ． C ．﹣ 2 D ．﹣ 1

下列说法中正确的是（ ）

A ．在 中，若 ，则 一定是钝角三角形

B ．在 中，若 ，则 是直角三角形

C ．在 中，若 ，则 一定是等腰三角形

D ．

已知圆 的半径为定长 ， 是圆 所在平面内一个定点， 是圆上任意一点，线段 的垂直平分线 和直线 相交于点 ．当点 在圆上运动时，下列判断正确的是（ ）

A ．当点 在圆 内（不与圆心重合）时，点 的轨迹是椭圆；

B ．点 的轨迹可能是一个定点；

C ．点 的轨迹可能是抛物线．

D ．当点 在圆 外时，点 的轨迹是双曲线的一支

大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动．假设小明坐在点 处， “ 大摆锤 ” 启动后，主轴 在平面 内绕点 左右摆动，平面 与水平地面垂直， 摆动的过程中，点 在平面 内绕点 作圆周运动，并且始终保持 ， ．设 ，在 “ 大摆锤 ” 启动后，下列结论正确的是（    ）

A ．点 在某个定球面上运动；

B ． 与水平地面所成锐角记为 ，直线 OB 与水平地面所成角记为 ，则 为定值；

C ．可能在某个时刻， ；

D ．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．

在一个袋中装有质地大小一样的 黑球， 个白球，现从中任取 个小球，设取出的 个小球中白球的个数为 ，则下列结论正确的是（ ）

A ． B ．随机变量 服从二项分布

C ．随机变量 服从超几何分布 D ．

已知三个数 成等比数列，则圆锥曲线 的离心率为

A ． B ． C ． D ．

某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学科中任选 3 门进行学习 . 现有甲、乙、丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是（    ）

A ．甲的不同的选法种数为 10

B ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件

C ．乙同学在选物理的条件下选化学的概率是

D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是

已知函数 ，给出下列四个结论，其中正确的是（ ）

A ．曲线 在 处的切线方程为

B ． 恰有 2 个零点

C ． 既有最大值，又有最小值

D ．若 且 ，则

若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为 ________ ．

在四面体 中， 平面 ， ， ， ，则该四面体的外接球的表面积为 ________.

已知圆 ： ，直线 ： ， 为 上的动点．过点 作圆 的切线 ， ，切点为 ， ，当 最小时，直线 的方程为 ______ ．

已知 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ， 边上的高为 ，且 ，则 的取值范围是 ___________.

设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 __________ ．

若 且 ，则 的取值范围为 __________ ．

若对任意实数 ， 都有 ，则 的值为 ______ ．

已知函数 ，若对于任意的 ，均有 成立，则实数 a 的取值范围为 ______ ．

如图，三棱柱 中， 底面 ，且 为正三角形， 为 中点．

（ 1 ）求证：直线 平面 ；

（ 2 ）求证：平面 平面 ．

设 ， 分别是椭圆 的左､右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直，直线 与 的另一个交点为 ．

（ 1 ）若直线 的斜率为 ，求 的离心率；

（ 2 ）已知（ 1 ）中椭圆上一点到左焦点的最大距离是 6 ，求该椭圆方程．

在 ① 是 边上的高，且 ， ② 平分 ，且 ， ③ 是 边上的中线，且 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出边 的长．

问题：在锐角 中，已知 ， ， 是边 上一点， _____ ，求边 的长．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

已知圆 M 的方程为 ．

求过点 的圆 M 的切线方程；

若直线过点 ，且直线 l 与圆 M 相交于两点 P 、 Q ，使得 ，求直线 l 的方程．

已知椭圆 的右焦点为 ，斜率为 的直线 与 的交点为 ， ，与 轴的交点为 ．

（ 1 ）若 ，求 的直线方程；

（ 2 ）若 ，求直线 的方程．

已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，且 到直线 的距离为 ．

（ 1 ）求椭圆 C 标准的方程；

（ 2 ）过 的直线 m 交椭圆 C 于 P ， Q 两点， O 为坐标原点，以 OP ， OQ 为邻边作平行四边形 OPDQ ，是否存在直线 m ，使得点 D 在椭圆 C 上？若存在，求出直线 m 的方程；若不存在，说明理由．

为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队 3 人，每人回答一个问题，答对得 1 分，答错得 0 分．在竞赛中，甲､乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为 ，乙队每人回答问题正确的概率分别为 ， ， ，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．

（ 1 ）分别求甲队总得分为 3 分与 1 分的概率；

（ 2 ）求乙队总得分为 1 分的概率．

若 的二项式展开式中前三项的系数和为 163 ，求：

（ 1 ）该二项式展开式中所有的有理项；

（ 2 ）该二项式展开式中系数最大的项．

如图，在正四棱柱 中， ， ，点 是 的中点，点 在 上，设二面角 的大小为 .

（ 1 ）当 时，求 的长；

（ 2 ）当 时，求 的长 .

高三年级某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为： ， ， ， ， ， ， ．其中 ， ， 成等差数列且 ．物理成绩统计如表．（说明：数学满分 150 分，物理满分 100 分），若数学成绩不低于 140 分等第为 “ 优 ” ，物理成绩不低于 90 分等第为 “ 优 ”.

（ 1 ）根据频率分布直方图，求出实数 ， ， 的值以及数学成绩为 “ 优 ” 的人数；

（ 2 ）已知本班中至少有一个 “ 优 ” 同学总数为 6 人，从该 6 人中随机抽取 3 人，记 为抽到两个 “ 优 ” 的学生人数，求 的分布列和数学期望．

已知函数 ( ).

（ 1 ）若 , 求函数 的单调区间 ;

（ 2 ）当 时 , 若函数 在 上的最大值和最小值的和为 1, 求实数 的值 .

已知函数 （ ） .

（ 1 ）若 是定义域上的增函数，求 a 的取值范围；

（ 2 ）若 ，若函数 有两个极值点 ， （ ），求 的取值范围 .