题目

已知定义域为R+、值域为R的函数f(x)，对于任意x、y正R+总有f(xy)=f(x)+f(y)．当x＞1时，恒有f(x)＞0．(1)求证：f(x)必有反函数；(2)设f(x)的反函数是f-1(x)，若不等式f-1(-4x+k·2x-1)＜1对任意的实数x恒成立，求k的取值范围． 答案：(1)令x=y=1得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0 令y=，得f(1)=f(x)+f()，∴f()=-f(x)在R+内任取x1、x2，且x1＜x2，则f()=f(x2)+f() =f(x2)-f(x1)∵＞1，∴f()＞0，∴f(x1)＜f(x2)∴f(x)在定义域内为单调增函数．故f(x)一定存在反函数．(2)由(1)知f(x)在定义域内为单调增函数，f-1(-4x+k·2x-1)，1在f(x)的定义域中，所以原不等式等价于f[f-1(-4x+k·2x-1]＜美国西点军校的校园内矗立着一尊中国军人的半身塑像，学校提倡学院要发扬他的“钉子精神”。这位中国军人是： [     ]A．董存瑞B．黄继光C．雷锋D．邱少云