题目

已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然常数，a∈R. (1)讨论当a＝1时，函数f(x)的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋； (3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 答案：解 (1)∵f(x)＝x－lnx，f′(x)＝1－＝， ∴当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当1<x<e时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∴f(x)的极小值为f(1)＝1. (2)证明：∵f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e]上的最小值为 1，∴f(x)min＝1. 又∵g′(x)＝， ∴0<x<e时，g′(x)>0，g(x)在(0，e]上单调递增． ∴g(x)max＝g(e)＝<.11．在玉树地震的救援行动中，千斤顶发挥了很大作用，如图所示是剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起．当千斤顶两臂间的夹角为120°时汽车对千斤顶的压力为2.0×105N，此时下列判断正确的是（　　）A．此时两臂受到的压力大小均为2.0×104NB．此时千斤顶对汽车的支持力为4.0×105NC．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小D．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大