题目

如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC. (1)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD； (2)求二面角A1—BD—C1的余弦值． 答案：(1)证明：在图中连接B，E，则四边形DABE为正方形， ∴BE＝AD＝A1D1，且BE∥AD∥A1D1.∴四边形A1D1EB为平行四边形．∴D1E∥A1B.又D1E⊄平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴D1E∥平面A1BD. (2)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA＝1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,2,2)如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB．求证：△ABC≌△DCB．