题目

已知数列 满足 ， ，求证：（I） ；（II） ；（III） . 答案：【答案】解：（I）（数学归纳法）当 时，因为 ，所以 成立.假设当 时， 成立,则当 时， .因为 ，且 得 所以 也成立.（II）因为 ，所以 所以 .（III）因为 ，所以 .从而 .所以 ，即 .所以 .又 ，故 .【解析】此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k（本题满分12分）某中学校本课程共开设了共门选修课,每个学生必须且只能选修门选修课,现有该校的甲、乙、丙名学生.（Ⅰ）求这名学生选修课所有选法的总数；（Ⅱ）求恰有门选修课没有被这名学生选择的概率；（Ⅲ）求选修课被这名学生选择的人数的分布列和数学期望.