勾股定理的证明知识点题库

如图，是我国古代数学家赵爽的《勾股弦方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么(a+b)²值为 ( )

A . 169 B . 25 C . 19 D . 13

勾股定理是几何中的一个重要定理。在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理。图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）

A . 360 B . 400 C . 440 D . 484

如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）²的值为（　　）

A . 13 B . 19 C . 25 D . 169

如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（　　）

A . 4 B . 6 C . 8 D . 10

勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）

A . 90 B . 100 C . 110 D . 121

在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D，E，F，G，H， I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）

A . 360 B . 400 C . 440 D . 484

右图是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你用它来验证勾股定理.

如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）

A . 6 B . 2 $\text{[math]}$ +1 C . 9 D . $\text{[math]}$

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC 中，∠ACB=90°，若 AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：

（1）试说明 a²+b²=c²；
（2）如果大正方形的面积是 10，小正方形的面积是2，求(a+b)²的值．

如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E.F.且AB＝5，AC＝12，BC＝13，则⊙O的半径是.

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.中国对勾股定理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲.在《周髀算经》注解中证明勾股定理的是我国古代数学家（）

A . 祖冲之 B . 杨辉 C . 刘徽 D . 赵爽

如图，已知△ABC的三个顶点均在以正方形组成的表格的格点上，则sinA的值是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解 $\text{[math]}$ 周髀算经 $\text{[math]}$ 时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则 $\text{[math]}$

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

我们刚刚学习的勾股定理是一个基本的平面几何定理，也是数学中最重要的定理之一.勾股定理其实有很多种证明方法.下图是1876年美国总统伽菲尔德（Garfield）证明勾股定理所用的图形：以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示梯形形状，使C、B、D三点在一条直线上.

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（1）求证：∠ $\text{[math]}$ 90°；
（2）请你利用这个图形证明勾股定理（即证明： $\text{[math]}$ ）.

勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．

1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想，由它可以推导出很多重要的公式．

（1）如图1，是一个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．
①用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为 ▲ ，第二次列式为 ▲ ，因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式 ▲ ；

②在①中，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接用①题中的等式，求阴影部分的面积；
（2）如图3，两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究a，b，c之间的数量关系．

勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）

A .

B .

C .

D .

图中不能证明勾股定理的是（）

A .

B .

C .

D .

【经典回顾】

梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是以 $\text{[math]}$ 的三边为一边的正方形．延长 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）证明： $\text{[math]}$ ；
（2）证明：正方形 $\text{[math]}$ 的面积等于四边形 $\text{[math]}$ 的面积；
（3）请利用（2）中的结论证明勾股定理．
（4）【迁移拓展】
如图2，四边形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是以 $\text{[math]}$ 的两边为一边的平行四边形，探索在 $\text{[math]}$ 下方是否存在平行四边形 $\text{[math]}$ ，使得该平行四边形的面积等于平行四边形 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形 $\text{[math]}$ （保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

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