正方形的判定与性质知识点题库

如图，在矩形 ABCD 中，AE 平分∠BAD，交 BC 于 E，过 E 做 EF⊥AD 于 F，连接BF交AE于P，连接PD．

（1）求证：四边形ABEF 是正方形；
（2）如果AB=6，AD=8，求tan∠ADP的值．

如图（1），在Rt△ABC，∠ACB=90°，分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED，连结AD、CF，AD与CF交于点M．

（1）求证：△ABD≌△FBC；
（2）如图（2），已知AD=6，求四边形AFDC的面积；
（3）在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，当∠ACB≠90°时，c²≠a²+b² ．在任意△ABC中，c²=a²+b²+k．就a=3，b=2的情形，探究k的取值范围（只需写出你得到的结论即可）．

如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．

（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长；
（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？

定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．

（1） ①如图1，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，若AB=2，BC=3，则BD=；
②如图2，直角坐标系中，A（0，3），B（5，0），若整点P使得四边形AOBP是准矩形，则点P的坐标是；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）
（2）如图2，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；
（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，当△ADC为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是．

如图，在半径为5cm的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为.

如图，△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为（结果保留π）

如图①，直线PQ同侧有两点M，N，点T在直线PQ上，若∠MTP＝∠NTQ，则称点T为M，N在直线PQ上的投射点．

（1）如图②，在Rt△ABC中，∠B＝60°，D为斜边AB的中点，E为AC的中点．求证：点D为C，E在直线AB上的投射点；
（2）如图③，在正方形网格中，已知点A，B，C三点均在格点上，请仅用没有刻度的直尺在AC上画出点P，在BC上画出点Q，使A，P在BC上的投射点Q满足CQ＝2BQ；
（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，在AB，BC边上是否分别存在点D，E，使点D为E，C在AB上的投射点，点E为A，D在BC上的投射点？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

已知四边形ABCD是矩形，连接AC，点E是边CB延长线上一点，CA=CE，连接AE，F是线段AE的中点，

（1）如图1，当AD=DC时，连接CF交AB于M，求证：BM=BE；
（2）如图2，连接BD交AC于O，连接DF分别交AB、AC于G、H，连接GC，若∠FDB=30°，S_四边形_GBOH= $\text{[math]}$ ，求线段GC的长．

如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是.

如图，等腰直角△OAB的斜边OA在坐标轴上，顶点B的坐标为（﹣2，2）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向点O运动，点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，当点P到达点O时，点P、点Q同时停止运动．连接BP ，过P点作∠BPC＝45°，射线PC与y轴相交于点C ，过点Q作平行于y轴的直线l ，连接BC并延长与直线l相交于点D ，设点P运动的时间为t（s）．

（1）点P的坐标为（用t表示）；
（2）当t为何值，△PBE为等腰三角形？
（3）在点P运动过程中，判断 $\text{[math]}$ 的值是否发生变化？请说明理由．

图1，图2，图3是三张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，A，C两点都在格点上，连结AC，请完成下列作图:

（1）以AC为对角线在图1中作一个正方形，且正方形各顶点均在格点上
（2）以AC为对角线在图2中作一个矩形，使得矩形面积为6，且矩形各顶点均在格点上
（3）以AC为对角线在图3中作一个面积最小的平行四边形，且平行四边形各顶点均在格点上

如图，四边形ABCD的∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC于E，△BEA旋转一定角度后能与△DFA重合.

图片_x0020_100014

（1）旋转中心是哪一点？
（2）旋转了多少度？
（3）若AE=5cm，求四边形ABCD的面积.

如图， $\text{[math]}$ 是等腰三角形， $\text{[math]}$ ，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点D、E，与AB分别相交于点G、H，且DG的延长线与CB的延长线交于点F，分析下列四个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ .其中正确的结论个数有（）

图片_x0020_100007

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 0个

点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H.

（1）发现：如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是；
（2）探究：如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
（3）拓展：在（2）的基础上，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则直接写出线段EF的长.

如图，在正八边形 $\text{[math]}$ 中，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ °.

如图，在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在x轴上，现将点C与原点O重合，然后将 $\text{[math]}$ 以每秒4个单位长度的速度沿x轴正方向移动；同时，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿 $\text{[math]}$ 方向移动，设移动时间为t秒，以P为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作圆，交 $\text{[math]}$ 于点F，G.当点C到达点A时， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 同时停止移动.

（1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；（用含t的代数式表示）
（2）如图②，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点H.若 $\text{[math]}$ ，求t的值；
（3）在移动过程中，是否存在某一时刻， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所在直线及x轴同时相切？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.

问题提出：如图，在锐角 $\text{[math]}$ 中，如何作一个正方形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上， $\text{[math]}$ 分别落在 $\text{[math]}$ 边上？

勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在 $\text{[math]}$ 两边上的正方形 $\text{[math]}$ ；

②连接 $\text{[math]}$ ，并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；③过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；④过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；⑤过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 即为所求作的正方形.

受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角 $\text{[math]}$ 中，作出长与宽的比为 $\text{[math]}$ 的矩形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 位于边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 分别位于边 $\text{[math]}$ 上.

（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由.
（2）请你帮助创新小组同学在在锐角 $\text{[math]}$ 中，作出所有满足长与宽的比为 $\text{[math]}$ 的矩形 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 位于边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 分别位于边 $\text{[math]}$ 上.（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）
解决问题：
（3）在（2）的条件下，已知 $\text{[math]}$ 的面积为36， $\text{[math]}$ ，求出矩形 $\text{[math]}$ 的面积.

如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥AE；②四边形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④ $\text{[math]}$ ．其中结论正确的序号是（）

A . ①② B . ①②③ C . ①②④ D . ③④

如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是.

如图，点E，F，G，H为正方形 $\text{[math]}$ 四边中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积是.

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