2019年9月清华中学生标准学术能力数学试卷

1. 选择题	详细信息
设全集，集合，则集合（） A. B. C. D.

2. 选择题	详细信息
己知为虚数单位，，则复数的模为（） A. B. C.3 D.5

3. 选择题	详细信息
己知函数满足，设，则“”是“”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 选择题	详细信息
双曲线的离心率（） A.与有关，且与有关 B.与无关，但与有关 C.与有关，但与无关 D.与无关，且与无关

5. 选择题	详细信息
已知，则的最小值为（） A.4 B.6 C. D.

6. 选择题	详细信息
己知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是（） A. B. C. D.

7. 选择题	详细信息
将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图像的一个对称中心为（） A. B. C. D.

8. 选择题	详细信息
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A. B. C. D.

9. 选择题	详细信息
设函数，若存在，使得成立，则实数t的取值范围是（） A. B. C. D.

10. 选择题	详细信息
设是斐波那契数列，则.下图是输出斐波那契数列的一个算法流程图，现要表示输出斐波那契数列的前30项，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（） A. B. C. D.

11. 选择题	详细信息
己知甲盒中有2个红球，1个蓝球，乙盒中有1个红球，2个篮球，从甲乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒中，现从甲盒中取1个球，记红球的个数为，从乙盒中取1个球，记红球的个数为，从丙盒中取1个球，记红球的个数为，则下列说法正确的是（） A. B. C. D.

12. 选择题	详细信息
如图，已知等边三角形中，，为的中点，动点在线段上（不含端点），记，现将沿折起至，记异面直线与所成的角为，则下列一定成立的是（） A. B. C. D.

13. 填空题	详细信息
已知，则_______________.

14. 填空题	详细信息
己知数列满足,数列的通项公式为___________.

15. 填空题	详细信息
己知边长为2的正方形，分别是边上的两个点，，若，则的最小值为_____________.

16. 填空题	详细信息
已知椭圆，过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，且点在线段上，则______________.

17. 解答题	详细信息
已知中，角所对的边分别为，且. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）当，求的值.

18. 解答题	详细信息
如图，在四楼锥中，面，，. （1）求的长. （2）求直线与面所成角的正弦值.

19. 解答题	详细信息
若数列前n项和为，且满足（t为常数，且） （1）求数列的通项公式： （2）设，且数列为等比数列，令，.求证：.

20. 解答题	详细信息
设函数，若存在（其中） （1）求实数的取值范围， （2）证明：.

21. 解答题	详细信息
如图，己知抛物线，直线交抛物线于两点，是抛物线外一点，连接分别交地物线于点，且. （1）若，求点的轨迹方程. （2）若，且平行x轴，求面积.

22. 解答题	详细信息
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）求曲线的直角坐标方程： （2）设曲线与直线交于点两点，求的取值范围.

23. 解答题	详细信息
己知正数a，b，c满足.求证： （1） （2）若存在非零实数t.使得不等式成立，求实数x的取值范围.