2021年内蒙古呼和浩特市中考数学真题含答案解析

几种气体的液化温度（标准大气压）如表：

其中液化温度最低的气体是（　　）

A ．氦气 B ．氮气 C ．氢气 D ．氧气

如图，在 中， ， ，直线 经过点 A ， ，则 的度数是（ ）

A ． 40° B ． 50° C ． 60° D ． 70°

下图所示的几何体，其俯视图是（ ）

A ． B ．

C ． D ．

下列计算正确的是（　　）

A ． B ．

C ． D ．

已知关于 x 的不等式组 无实数解，则 a 的取值范围是（　　）

A ． B ． C ． D ．

某学校初一年级学生来自农村，牧区，城镇三类地区，下面是根据其人数比例绘制的扇形统计图，由图中的信息，得出以下 3 个判断，错误的有（   ）

① 该校初一学生在这三类不同地区的分布情况为 3 ： 2 ： 7

② 若已知该校来自牧区的初一学生为 140 人，则初一学生总人数为 1080 人．

③ 若从该校初一学生中抽取 120 人作为样本调查初一学生父母的文化程度，则从农村、牧区、城镇学生中分别随机抽取 30 、 20 、 70 人，样本更具有代表性．

A ． 3 个 B ． 2 个 C ． 1 个 D ． 0 个

在平面直角坐标系中，点 ， ．以 为一边在第一象限作正方形 ，则对角线 所在直线的解析式为（ ）

A ． B ． C ． D ．

如图，正方形的边长为 4 ，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径 d ，根据我国魏晋时期数学家刘的 “ 割圆术 ” 思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计的值，下面 d 及 的值都正确的是（ ）

A ． ， B ． ，

C ． ， D ． ，

以下四个命题： ① 任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分； ② A ， B ， C ， D ， E ， F 六个足球队进行单循环赛，若 A ， B ， C ， D ， E 分别赛了 5 ， 4 ， 3 ， 2 ， 1 场，则由此可知，还没有与 B 队比赛的球队可能是 D 队； ③ 两个正六边形一定位似； ④ 有 13 人参加捐款，其中小王的捐款数比 13 人捐款的平均数多 2 元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多．比其他的都少．其中真命题的个数有（   ）

A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个

已知二次项系数等于 1 的一个二次函数，其图象与 x 轴交于两点 ， ，且过 ， 两点（ b ， a 是实数），若 ，则 的取值范围是（　　）

A ． B ． C ． D ．

计算求解

（ 1 ）计算

（ 2 ）解方程组

如图，四边形 是平行四边形， 且分别交对角线 于点 E ， F ．

（ 1 ）求证： ；

（ 2 ）当四边形 分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形 的形状．（无需说明理由）

某大学为了解大学生对中国共.产.党党史识的学习情况，在大学一年级和二年级举行有关党史知识测试活动，现从一二两个年级中各随机抽取 20 名学生的测试成绩（满分 50 分， 30 分及 30 分以上为合格： 40 分及 40 分以上为优秀）进行整理、描述和分析，给出了下面的部分信息．

大学一年级 20 名学生的测试成绩为： 39 ， 50 ， 39 ， 50 ， 49 ， 30 ， 30 ， 49 ， 49 ， 49 ， 43 ， 43 ， 43 ， 37 ， 37 ， 37 ， 43 ， 43 ， 37 ， 25

大学二年级 20 名学生的测试成绩条形统计图如下图所示；两个年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如表所示：

请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题：

（ 1 ）上表中 a ＝ __________ ， b ＝ __________ ， c ＝ __________ ， m ＝ __________ ， n __________ ；根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好？并说明理由（写出一条理由即可）；

（ 2 ）已知该大学一、二年级共 1240 名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数能否超过 1000 人；

（ 3 ）从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一年级的概率．

如图，线段 与 表示某一段河的两岸， ．综合实践课上，同学们需要在河岸 上测量这段河的宽度（ 与 之间的距离），已知河对岸 上有建筑物 C 、 D ，且 米，同学们首先在河岸 上选取点 A 处，用测角仪测得 C 建筑物位于 A 北偏东 45° 方向，再沿河岸走 20 米到达 B 处，测得 D 建筑物位于 B 北偏东 55° 方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）

下面图片是七年级教科书中 “ 实际问题与一元一次方程 ” 的探究 3

电话计费问题

考虑下列问题：

① 设一个月内用移动电话主叫为 min （ t 是正整数）根据上表，列表说明：当 t 在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费

② 观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．

小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．

（ 1 ）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量 x 和自变量的函数 y ，请你帮小明写出：

x 表示问题中的 __________ ， y 表示问题中的 __________ ．并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；

（ 2 ）在给出的正方形网格纸上画出（ 1 ）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）

为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了 “ 足球俱乐部 1 小时 ” 活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买 A 品牌足球共花费 2880 元， B 品牌足球共花费 2400 元，且购买 A 品牌足球数量是 B 品牌数量的 1.5 倍，每个足球的售价， A 品牌比 B 品牌便宜 12 元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买 A 、 B 两种足球共 50 个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整， A 品牌比去年提高了 5% ， B 品牌比去年降低了 10% ，如果今年购买 A 、 B 两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个 B 品牌足球？

已知 是 ⊙ O 的任意一条直径，

（ 1 ）用图 1 ，求证： ⊙ O 是以直径 所在直线为对称轴的轴对称图形；

（ 2 ）已知 ⊙ O 的面积为 ，直线 与 ⊙ O 相切于点 C ，过点 B 作 ，垂足为 D ，如图 2 ，求证：

① ；

② 改变图 2 中切点 C 的位置，使得线段 时， ．

已知抛物线

（ 1 ）通过配方可以将其化成顶点式为 __________ ，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在 x 轴 __________ （填上方或下方），即 __________0 （填大于或小于）时，该抛物线与 x 轴必有两个交点；

（ 2 ）若抛物线上存在两点 ， ，分布在 x 轴的两侧，则抛物线顶点必在 x 轴下方，请你结合 A 、 B 两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设 且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）

（ 3 ）利用二次函数（ 1 ）（ 2 ）结论，求证：当 ， 时， ．

因式分解： = _____________________________ ．

正比例函数 与反比例函数 的图象交于 A ， B 两点，若 A 点坐标为 ，则 __________ ．

已知圆锥的母线长为 10 ，高为 8 ，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 __________ ．（用含 π 的代数式表示），圆心角为 __________ 度．

动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到 20 岁的概率为 0.8 ，活到 25 岁的概率为 0.5 ，据此若设刚出生的这种动物共有 a 只．则 20 年后存活的有 __________ 只，现年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率是 __________ ．

已知菱形 的面积为 ﹐点 E 是一边 上的中点，点 P 是对角线 上的动点．连接 ，若 AE 平分 ，则线段 与 的和的最小值为 __________ ，最大值为 __________ ．

若把第 n 个位置上的数记为 ，则称 ， ， ， … ， 有限个有序放置的数为一个数列 A ．定义数列 A 的 “ 伴生数列 ” B 是： ﹐ ， … 其中 是这个数列中第 n 个位置上的数， ， 2 ， … k 且 并规定 ， ．如果数列 A 只有四个数，且 ， ， ， 依次为 3 ， 1 ， 2 ， 1 ，则其 “ 伴生数列 ” B 是 __________ ．