题目

已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).(1)证明数列{an+1}是等比数列;(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1)，并比较2f′(1)与23n2-13n的大小. 答案：解：(1)由已知Sn+1=2Sn+n+5,∴n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4.    两式相减,得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,    即an+1=2an+1,    从而an+1+1=2(an+1).    当n=1时,S2=2S1+1+5,∴a1+a2=2a1+6.    又a1=5,∴a2=11.    从而a2+1=2(a1+1).    故总有an+1+1=2(an+1),n∈N*.    又∵a1=5,∴an+1≠0.    从而=2，即{an+1}是以a1+1=6为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)知an=已知等比数列{an}，首项为2，公比为3，则=     （n∈N*）．