题目

设函数f（x）=x3ax，其中a＞0且a≠1，若φ（x）=是区间（0，2）上的增函数． （Ⅰ）求a的最小值； （Ⅱ）当a取得最小值时，证明：对于任意的0＜x1＜x2，当x1+x2=6时，有f（x1）＜f（x2）． 答案：【分析】（Ⅰ）求导f′（x）=3x2ax+x3axlna=ax（3x2+x3lna），故φ（x）=3x2+x3lna，求导φ′（x）=6x+（3lna）x2，从而可得当x∈（0，2）时，φ′（x）≥0恒成立，从而化为求函数的最值问题即可； （Ⅱ）当时，，从而化简可得，即3lnx1﹣3ln（6﹣x1）+6﹣2x1＜0；令g（x）=3lnx﹣3ln（6﹣x）+6﹣2x，x∈（0，3），从而求读右图，该学校的大门朝向是 （ ）A．正东 B．正南 C．正西 D．正北