题目

已知过函数f(x)=x3+ax2+1的图像上一点B（1,b）的切线的斜率为-3.(1)求a、b的值.（2）求A的取值范围，使不等式f(x)≤A-1 991对于x∈［-1,4］恒成立.（3）令g(x)=-f(x)-3x2+tx+1，是否存在一个实数t,使得当x∈(0,1］时，g(x)有最大值1? 答案：解：(1)f′(x)=3x2+2ax,依题意,得k=f′(1)=3+2a=-3,∴a=-3.∴f(x)=x3-3x2+1.把B(1,b)代入得b=f(1)=-1,∴a=-3,b=-1.(2)令f′(x)=3x2-6x=0,得x=0或x=2.∵f(0)=1,f(2)=23-3×22+1=-3,f(-1)=-3,f(4)=17,∴当x∈［-1,4］时,-3≤f(x)≤17,要使f(x)≤A-1 991对于x∈［-1,4］恒成立,则f(x)的最大值17≤A-1 991,∴A≥2 008.(3)已知g(x)=-(x3-3x2+1)-3x2+tx+1=-x3+tx,∴g′(x)=-3x2+t.用一根轻绳把一质量为0.5kg的小球悬挂在O点，用力F拉小球使悬线偏离竖直方向30°角保持不变，小球处于平衡状态，力F与竖直方向的夹角为θ，如图所示（g取10N/kg），则（ ）A．若拉力F水平向右，则F最小，此时绳的拉力为NB．若使力F取最小值，此时绳的拉力为NC．若使力F顺时针转动，绳的拉力一定变大D．若使力F逆时针转动，拉力F最大为5N