题目

已知函数（）.（1）证明：当时，在上是增函数；（2）是否存在实数，只有唯一正数，对任意正数，使不等式恒成立？若存在，求出这样的；若不存在，请说明理由. 答案：【答案】（1）详见解析；（2）存在实数，只有唯一值，符合题意.【解析】（1）将在上是增函数转化为在上恒成立，构造新函数利用导数求最值即可证明.（2）将恒成立转化为恒成立，利用导数研究其单调性及最值，找到符合题意的正数的值.证明：（1）令则，因此是增函数故，因此是增函数（2）取，