题目

17．已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点， △ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB.         （Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长. 答案：17.（Ⅰ）证明： 连结CF.  （Ⅱ）解法一：为所求二面角的平面角. 设AB=a，则 解法二：设P在平面ABC内的射影为O. ≌≌得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 为所求二面角的平面角.设AB=a，则    （Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R. ，的边长为. 解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.连结OA、AD，可知△PAD为在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值．