题目

已知椭圆 的离心率为，长轴长为． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）设为椭圆C的右焦点，T为直线上纵坐标不为的任意一点，过作的垂线交椭圆C于点P，Q. （ⅰ）若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)，求的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标． 答案：．解：（1）由已知解得 所以椭圆C的标准方程是. ………………………………（3分） （2）（ⅰ）由（1）可得，F点的坐标是(2，0). 设直线PQ的方程为x＝my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得 消去x，得(m2＋3)y2+4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝.于是x1＋4．已知$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）（1）按照上面算式你能猜出$\frac{1}{2011×2013}$==$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2011}$-$\frac{1}{2013}$）；（2）利用上面的规律计算$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+$\frac{1}{7×9}$+…+$\frac{1}{2001×2003}$的值．