题目

如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m.(1)试确定m，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论. 答案：解法一：（1）如图，连AC，设AC∩BD=O,AP与面BDD1B1交于点G，连OG，因为PC∥面BDD1B1，而BDD1B1∩面APC=OG，故OG∥PC，所以OG=PC=.又AO⊥DB，AO⊥BB1，所以AO⊥面BDD1B1，故∠AGO即为AP与面BDD1B1所成的角.在Rt△AOG中，tan∠AGO==3,即m=.故当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.（2)依题意,要在A1C1上找一点Q,使 已知f（x）=（logmx）2+2logmx﹣3（m＞0，且m≠1）．（Ⅰ）当m=2时，解不等式f（x）＜0；（Ⅱ）f（x）＜0在[2，4]恒成立，求实数m的取值范围．