题目

对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x), (1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称； (2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和。 答案：(1) 证明略(2) f(x)=0的四根之和为8 解析:  设(x0,y0)是函数y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0), ∵=a, ∴点(x0,y0)与(2a－x0,y0)关于直线x=a对称， 又f(a+x)=f(a－x), ∴f(2a－x0)=f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0, ∴(2a－x0,y0)也在函数的图像上， 故y=f(x)的图像关于直线x=a对称. (2)解：由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图像关于直线x=2如图，点A（0, 4）在以D（-1, ）为顶点的二次函数上。把的图像绕顶点D旋转180°后向下平移n个单位，再向右平移3个单位，得到一个过原点的二次函数。已知点B为上一动点，点C为上一动点，且BC平行于轴（可与轴重合）。 （1）求的函数表达式； （2）求的函数表达式及n的值； （3）四边形ABCO能否成为平行四边形？若能，求此平形四边形的面积；若不能，说明理由； （4）求线段BC的最小值。